固体を伝わる音

音は空気中でも水中でも, さらには固体の中でも伝搬する.
固体中での音の速さは, Wikipediaの音速のページ (Wikipedia: 音速) を見ると突然
K を体積弾性率, G を剛性率として, 縦波の場合 \begin{align} c_l = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho}}, \tag{1} \end{align} 横波の場合 \begin{align} c_t = \sqrt{\frac{G}{\rho}}, \tag{2} \end{align} である」
と紹介される (Wikipedia: 体積弾性率, 剛性率).
今回の記事の目標はこの2式を証明することである.
「固体 音速 導出」などでググってもすぐには見つからなかったが, その理由は導出があまり簡単ではなかったからであった....

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3次元のフックの法則

今回は3次元弾性体(力を加えると変形するが, 力を取り除くと元に戻る物体のこと)におけるHookeの法則 (Wikipedia: フックの法則) を導出する.
これは連続体力学や材料力学 (Wikipedia: 連続体力学, 材料力学) にかかわる法則であるが, 長くなってしまったのでこれだけで1つの記事とした.

Hookeの法則といえば, ばねにかかる力 F とばねの伸び x を結ぶ関係式 F=kx が有名である (k はばね定数).
この記事では, ばねにおける F=kx と同様の式を, 3次元固体について得ることを目標に進める.
ただし, 連続体力学では力の代わりに単位面積あたりの力(つまり圧力)が 「応力(stress, Wikipedia: 応力)」 として用いられ, 同様に変位の代わりに単位長さあたりの変位が 「ひずみ(strain, Wikipedia: ひずみ)」 として用いられる.
それゆえ, 得られる式としては (応力)\,=\,(比例定数)(ひずみ) となる.
なお, 以下で取り扱う物体は等方的である(向きによらず性質が同じ)とし, また重力や電磁気力などの外力は全て無視する.

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波動方程式から回折現象を導く その2

プログラミング教えてください.

回折像の理論

前回導出したのは \begin{align} u(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P}) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\mathrm{S}_2} dS \, \frac{e^{ikr}}{r}\left(\frac{1-ikr}{r^2}z_\mathrm{P} -\frac{\partial}{\partial z}\right)u \tag{7} \end{align} なる式であった(ただし r=\sqrt{(x-x_\mathrm{P})^2+(y-y_\mathrm{P})^2+z_\mathrm{P}^2}).
この (7) 式に従って開口部で波 u積分すると, z>0 での点 \mathrm{P}(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P}) での波の振幅が計算できる.
よく知られた回折の近似理論に, Fresnel回折 (Wikipedia: フレネル回折)とFraunhofer回折 (Wikipedia: フラウンホーファー回折) というものがあるので, 以下でこれらを実際に導出してみたいと思う.

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