音は空気中でも水中でも, さらには固体の中でも伝搬する.
固体中での音の速さは, Wikipediaの音速のページ
(Wikipedia: 音速)
を見ると突然
「 を体積弾性率, を剛性率として, 縦波の場合
\begin{align}
c_l = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho}}, \tag{1}
\end{align}
横波の場合
\begin{align}
c_t = \sqrt{\frac{G}{\rho}}, \tag{2}
\end{align}
である」
と紹介される
(Wikipedia: 体積弾性率,
剛性率).
今回の記事の目標はこの2式を証明することである.
「固体 音速 導出」などでググってもすぐには見つからなかったが,
その理由は導出があまり簡単ではなかったからであった....
3次元のフックの法則
今回は3次元弾性体(力を加えると変形するが, 力を取り除くと元に戻る物体のこと)におけるHookeの法則
(Wikipedia: フックの法則)
を導出する.
これは連続体力学や材料力学
(Wikipedia: 連続体力学,
材料力学)
にかかわる法則であるが, 長くなってしまったのでこれだけで1つの記事とした.
Hookeの法則といえば, ばねにかかる力 とばねの伸び を結ぶ関係式 が有名である
( はばね定数).
この記事では, ばねにおける と同様の式を, 3次元固体について得ることを目標に進める.
ただし, 連続体力学では力の代わりに単位面積あたりの力(つまり圧力)が
「応力(stress, Wikipedia: 応力)」
として用いられ, 同様に変位の代わりに単位長さあたりの変位が
「ひずみ(strain, Wikipedia: ひずみ)」
として用いられる.
それゆえ, 得られる式としては 応力比例定数ひずみ となる.
なお, 以下で取り扱う物体は等方的である(向きによらず性質が同じ)とし,
また重力や電磁気力などの外力は全て無視する.
波動方程式から回折現象を導く その2
プログラミング教えてください.
回折像の理論
前回
(■)
は
\begin{align}
u(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P})
= \frac{1}{4\pi} \iint_{\mathrm{S}_2} dS \,
\frac{e^{ikr}}{r}\left(\frac{1-ikr}{r^2}z_\mathrm{P}
-\frac{\partial}{\partial z}\right)u \tag{7}
\end{align}
なる式を導出した(ただし
).
この 式に従って開口部で波 を積分すると,
での点 での波の振幅が計算できる.
よく知られた回折の近似理論に, Fresnel回折
(Wikipedia: フレネル回折)とFraunhofer回折
(Wikipedia: フラウンホーファー回折)
というものがあるので, 以下でこれらを実際に導出してみたいと思う.
波動方程式から回折現象を導く その1
こんにちは.
もはや月1回の更新がデフォルトになってしまっているが,
久しぶりに進捗が生まれた気がするのでその結果をここにまとめておく.
今回はKirchhoffの積分定理
(en.Wikipedia: Kirchhoff's diffraction formula)
という回折現象を数学的に正しく記述する式を, 波動方程式から導出したい.
回折現象はHuygensの原理(Wikipedia: ホイヘンス=フレネルの原理)
から一応は定性的に説明されるのだが, どうにも(個人的に)好きになれないからである.
今回の記事は主に[1]を参考にした.