今回は青少年のハートをくすぐる「ビーム」について書こうと思う.
ただしビームといっても様々な種類がある（Wikipedia: ビーム）.
今回取り扱おうと思っているのは電子のビームであるが, 例えば太陽光線やレーザー光線もビームの一種である.
電子ビームの最も身近な例はブラウン管（Wikipedia: ブラウン管）だと思うが, 最近ではブラウン管は身近でもなんでもないかもしれない....
ブラウン管は電子ビームを蛍光板に当てることで画像を表示している.
しかし広い画面全体に画像を表示するためには, 電子ビームを曲げる必要がある.
それには平行平板コンデンサを用いる（図1）.
コンデンサ内部には電場が存在し, 電子ビームはCoulombの法則に従って電場から力を受けて, その結果向きを変える.
コンデンサの電場でビームを曲げる
コンデンサの上下の平板に電圧が加えられると, その平板には電荷が蓄えられる.
その際加えた電圧と蓄えられる電荷には 
の関係があることが知られている.
ここで 
は平板に蓄えられた電荷（の絶対値）, 
は電気容量と呼ばれる定数,
はコンデンサに印加された電圧である.
また, 平板間の距離を 
とすれば, コンデンサ内部の電場 
は 
で与えられる.
より一般的な議論をするために, 以下では質量 
, 電荷 
の荷電粒子を扱う（電子では
,
である）.
そうすれば, この荷電粒子が電場 
から受ける力 
は 
である.
ビームの偏向量
以下で荷電粒子ビームがこのコンデンサでどれくらい曲げられるかを求める.
荷電粒子に働く電磁気力以外は全て無視し, ベクトルの第1成分は水平右向きを正, 第2成分は鉛直上向きを正とする.
上下の平板を長さ 
, 奥行き 
とし, これらを幅 
で配置してコンデンサとする.
このコンデンサのちょうど真ん中に質量 , 電荷 の荷電粒子 
を速度
\begin{align}
\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align}
で入射させる（図2）.
（入射位置がちょうど真ん中かどうかで の運動は少し変化する.
これについては次回解説したい.）
コンデンサ内の電場の水平方向成分は 
で, 鉛直方向成分は 
である.
つまりコンデンサ内での の運動方程式は
\begin{align}
m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}=
\begin{pmatrix}
0 \\ -qV/d
\end{pmatrix}
\end{align}
となる.
よってこれを時間で積分すれば 
の時間発展が求まる.
その時間の範囲は, がコンデンサ内にあるという条件から,
入射した瞬間を 
として 
である.
よって上の時間の範囲では は
\begin{align}
\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix}
v \\ -\displaystyle\int_{t'=0}^{t'=t} \frac{qV}{dm} dt'
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
v \\ -\frac{qV}{dm}\,t
\end{pmatrix}
\end{align}
となる.
次に, がいったんコンデンサの外に出てしまえば, は等速直線運動をする.
よって, 
での の位置 
は,
の入射地点を原点として
\begin{align}
\boldsymbol{x} &= \int_{t'=0}^{t'=t} \boldsymbol{v}\,dt' \\
&= \int_{t'=0}^{t'=a/v} \boldsymbol{v}\,dt' + \int_{t'=a/v}^{t'=t} \boldsymbol{v}\,dt' \\
&= \begin{pmatrix}
a \\ -\frac{qV}{2dm}\left(\frac{a}{v}\right)^2
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
v(t-a/v) \\ -\frac{qV}{dm}\frac{a}{v}\left(t-\frac{a}{v}\right)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
vt \\ -\frac{aqV}{dm{v}}\left(t-\frac{a}{2v}\right)
\end{pmatrix} \tag{1}
\end{align}
と求まる.
よって原点をコンデンサの中心にとって第2成分の定数項を落とすと, 偏向量 
は
\begin{align}
D=\frac{aqV}{dm{v^2}}
\end{align}
となる.
ところで, 速度 の荷電粒子はどうやって用意したのだろうか？
荷電粒子に速度を与えるには, 進行方向に電圧を加えてやればよい.
加速電圧 
で加速された初速度 の荷電粒子は
\begin{align} qV_0=\frac{1}{2}mv^2 \end{align}
というエネルギー保存の式に従って速度 
を得る.
これをそのまま としてコンデンサに導入してやったと考えると,
\begin{align}
D = \frac{aqV}{d\,2qV_0} = \frac{a}{2d} \frac{V}{V_0} \tag{2}
\end{align}
となって, 偏向量 は荷電粒子の質量や電荷の大きさに依存しない
（ただし偏向する向きは荷電粒子の電荷の正負で逆になる）.
このように静電場によって荷電粒子線の向きを曲げることを, 「静電偏向（Electrostatic deflection）」と呼ぶ.
