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1次元の熱平衡(境界値問題1)

今回は題の通り, 1次元での熱平衡について.
つまり, 金属線を加熱したときに, 最終的にどのような温度分布になるのかを考えたい.
これはPoisson方程式(Wikipedia: ポアソン方程式)またはHelmholtz方程式(Wikipedia: ヘルムホルツ方程式)と呼ばれる式によって知ることができるのだが, 個人的に納得のいかないところがあり, 前回の更新から少し間が空いてしまった.
決してグラブっていたわけではない.

基礎方程式の導出

まずは金属線を1点で加熱する状況を考える.
長い時間加熱を続ければ, 加熱と空冷とがつりあうことで, 金属線の各部分の温度は時間変化しなくなる(この状態を熱平衡と呼ぶ).

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図1 金属線を伝わる熱

金属線をまっすぐに伸ばして x 軸に平行に置き, 原点 Ox=0)で加熱する.
このとき位置 xx \gt 0)にある長さ \Delta x の微小部分は, 左側から Q_1(x) の熱を受け取り, Q_1(x+\Delta x) の熱を右側に伝え, それと同時に空気中に熱 Q_2(x) を逃がす(図1).
これらがつりあっているので, \begin{align} Q_1(x)=SQ_1(x+\Delta x)+Q_2(x) ~\Leftrightarrow~\frac{Q_1(x+\Delta x)-Q_1(x)}{\Delta x}+\frac{Q_2(x)}{\Delta x}=0. \tag{1} \end{align} ここに更にFourierの法則(Wikipedia: 熱伝導)と, Newtonの冷却の法則(Wikipedia: ニュートンの冷却の法則)と呼ばれる法則を適用する.
これらは次のような法則である:
  • 同じ物体を伝わる熱の大きさ Q_1 は, その温度差に比例する.
  • 違う物体(例えば金属と空気)を伝わる熱の大きさ Q_2 も, その温度差に比例する.

これを数式にすると, 位置 x の金属線の温度を \theta(x) とし, 常温を \theta(\infty) として(加熱地点から十分離れた場所での温度は空気の温度と一緒なので), \begin{align} Q_1(x) &= -\lambda S\frac{d\theta(x)}{dx}, \\ Q_2(x) &= hS'(\theta(x)-\theta(\infty)). \end{align} ここで \lambda は熱伝導率(Wikipedia: 熱伝導率), h は熱伝達率(Wikipedia: 熱伝達率)と呼ばれる定数で, S は金属線の断面積, S' は微小部分の表面積である.
これらを (1) 式に代入して \Delta x\to0 とすると, \begin{align} -\lambda S\frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+h\frac{S'}{\Delta x}(\theta(x)-\theta(\infty))=0 \tag{2} \end{align} が得られる. これが今回の基礎方程式である.
ただし \lambda は温度に依存せず金属線中で一定だとした.

1次元問題

早速 (2) 式を解いてみる.
金属線の断面が半径 r の円であるとすれば \begin{align} S=\pi r^2, \qquad S'=2\pi r \Delta x \end{align} なので, これを (2) 式に代入して \begin{align} &-\lambda\pi r^2 \frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+2\pi hr(\theta(x)-\theta(\infty))=0. \\ \Leftrightarrow& -\lambda r\frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+2h(\theta(x)-\theta(\infty))=0. \tag{3} \end{align} 簡単のために \theta(x)-\theta(\infty)=f(x) とすると, 上式は \begin{align} -\lambda r f^{\prime\prime}(x)+2hf(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime\prime}(x)-\alpha^2 f(x)=0 \quad(\alpha:=\sqrt{2h/\lambda r}) \end{align} となる.
これの解は定数 A, B を用いて \begin{align} f(x)=Ae^{-\alpha x}+Be^{\alpha x} \end{align} と書けるので, \begin{align} \theta(x)=Ae^{-\alpha x}+Be^{\alpha x}+\theta(\infty) \tag{4} \end{align} となる.

定数 A, B境界条件によって定まる.
たとえば加熱点の右側では, 温度は発散しないという条件から B=0 である.
図2に, 半径 r=0.5 ~\mathrm{mm} の銅線を3点 x=-0.10, 0, 0.20~\mathrm{m}100 度に加熱した場合の温度分布を載せておく.
各種定数は \lambda\approx400~\mathrm{W/m \cdot K}, h\approx10~\mathrm{W/m^2 \cdot K}, \alpha\approx10.0 ~/\mathrm{m} とした[1].

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図2 金属線の温度分布

参考文献

[1] 熱伝導率, 熱伝達率 - Wikipedia