今回は題の通り, 1次元での熱平衡について.
つまり, 金属線を加熱したときに, 最終的にどのような温度分布になるのかを考えたい.
これはPoisson方程式（Wikipedia: ポアソン方程式）またはHelmholtz方程式（Wikipedia: ヘルムホルツ方程式）と呼ばれる式によって知ることができるのだが, 個人的に納得のいかないところがあり, 前回の更新から少し間が空いてしまった.
決してグラブっていたわけではない.
基礎方程式の導出
まずは金属線を1点で加熱する状況を考える.
長い時間加熱を続ければ, 加熱と空冷とがつりあうことで,
金属線の各部分の温度は時間変化しなくなる（この状態を熱平衡と呼ぶ）.
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| 図1 金属線を伝わる熱 |
金属線をまっすぐに伸ばして
軸に平行に置き,
原点
（
）で加熱する.
このとき位置
（
）にある長さ
の微小部分は,
左側から
の熱を受け取り,
の熱を右側に伝え,
それと同時に空気中に熱
を逃がす（図1）.
これらがつりあっているので,
\begin{align}
Q_1(x)=SQ_1(x+\Delta x)+Q_2(x)
~\Leftrightarrow~\frac{Q_1(x+\Delta x)-Q_1(x)}{\Delta x}+\frac{Q_2(x)}{\Delta x}=0. \tag{1}
\end{align}
ここに更にFourierの法則（
Wikipedia:
熱伝導）と, Newtonの冷却の法則（
Wikipedia:
ニュートンの冷却の法則）と呼ばれる法則を適用する.
これらは次のような法則である:
- 同じ物体を伝わる熱の大きさ
は, その温度差に比例する.
- 違う物体（例えば金属と空気）を伝わる熱の大きさ
も, その温度差に比例する.
これを数式にすると, 位置
の金属線の温度を
とし,
常温を
として（加熱地点から十分離れた場所での温度は空気の温度と一緒なので）,
\begin{align}
Q_1(x) &= -\lambda S\frac{d\theta(x)}{dx}, \\
Q_2(x) &= hS'(\theta(x)-\theta(\infty)).
\end{align}
ここで
は熱伝導率（
Wikipedia:
熱伝導率）,
は熱伝達率（
Wikipedia:
熱伝達率）と呼ばれる定数で,
は金属線の断面積,
は微小部分の表面積である.
これらを
式に代入して
とすると,
\begin{align}
-\lambda S\frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+h\frac{S'}{\Delta x}(\theta(x)-\theta(\infty))=0 \tag{2}
\end{align}
が得られる. これが今回の基礎方程式である.
ただし
は温度に依存せず金属線中で一定だとした.
1次元問題
早速 
式を解いてみる.
金属線の断面が半径 
の円であるとすれば
\begin{align}
S=\pi r^2, \qquad S'=2\pi r \Delta x
\end{align}
なので, これを 式に代入して
\begin{align}
&-\lambda\pi r^2 \frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+2\pi hr(\theta(x)-\theta(\infty))=0. \\
\Leftrightarrow& -\lambda r\frac{d^2\theta(x)}{dx^2}+2h(\theta(x)-\theta(\infty))=0. \tag{3}
\end{align}
簡単のために 
とすると, 上式は
\begin{align}
-\lambda r f^{\prime\prime}(x)+2hf(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime\prime}(x)-\alpha^2 f(x)=0
\quad(\alpha:=\sqrt{2h/\lambda r})
\end{align}
となる.
これの解は定数 
, 
を用いて
\begin{align}
f(x)=Ae^{-\alpha x}+Be^{\alpha x}
\end{align}
と書けるので,
\begin{align}
\theta(x)=Ae^{-\alpha x}+Be^{\alpha x}+\theta(\infty) \tag{4}
\end{align}
となる.
定数 , は境界条件によって定まる.
たとえば加熱点の右側では, 温度は発散しないという条件から 
である.
図2に, 半径 
の銅線を3点
で 
度に加熱した場合の温度分布を載せておく.
各種定数は 
, 
,
とした[1].
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| 図2 金属線の温度分布 |
参考文献
[1] 熱伝導率, 熱伝達率 - Wikipedia
