3次元のフックの法則 - あなばブログ

今回は3次元弾性体（力を加えると変形するが, 力を取り除くと元に戻る物体のこと）におけるHookeの法則（Wikipedia: フックの法則）を導出する.
これは連続体力学や材料力学（Wikipedia: 連続体力学, 材料力学）にかかわる法則であるが, 長くなってしまったのでこれだけで1つの記事とした.

Hookeの法則といえば, ばねにかかる力 $F$ とばねの伸び $x$ を結ぶ関係式 $F=kx$ が有名である（ $k$ はばね定数）.
この記事では, ばねにおける $F=kx$ と同様の式を, 3次元固体について得ることを目標に進める.
ただし, 連続体力学では力の代わりに単位面積あたりの力（つまり圧力）が「応力（stress, Wikipedia: 応力）」として用いられ, 同様に変位の代わりに単位長さあたりの変位が「ひずみ（strain, Wikipedia: ひずみ）」として用いられる.
それゆえ, 得られる式としては $($ 応力 $)\,=\,($ 比例定数 $)($ ひずみ $)$ となる.
なお, 以下で取り扱う物体は等方的である（向きによらず性質が同じ）とし, また重力や電磁気力などの外力は全て無視する.

3次元物体の変位

まず右辺の $x$ を3次元物体に対してどう定義するかを議論する.
物体内の点 $(x_1,x_2,x_3)$ が物体の変形によって点 $(x_1+u_1,x_2+u_2,x_3+u_3)$ に移動したとする.
（このとき点 $(x_1,x_2,x_3)$ と点 $(x_1+u_1,x_2+u_2,x_3+u_3)$ は一対一対応しており, この微小変位は $u_1=u_1(x_1,x_2,x_3)$ のように $x_1,x_2,x_3$ の関数になっている.）
近い2点 $(x_1,x_2,x_3)$ , $(x_1+dx_1,x_2+dx_2,x_3+dx_3)$ の距離の変化が物体の変形に対応するので, \begin{align} dl^2 &= (x_1+dx_1-x_1)^2+(x_2+dx_2-x_2)^2+(x_3+dx_3-x_3)^2 \\ &= dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2, \\[3pt] dl'^2 &= [(x_1+dx_1+u_1(x_1+dx_1,x_2+dx_2,x_3+dx_3)) \\ &\hspace{15em} -(x_1+u_1(x_1,x_2,x_3))]^2 \\ &\, + [(x_2+dx_2+u_2(x_1+dx_1,x_2+dx_2,x_3+dx_3)) \\ &\hspace{15em} -(x_2+u_2(x_1,x_2,x_3))]^2 \\ &\, + [(x_3+dx_3+u_3(x_1+dx_1,x_2+dx_2,x_3+dx_3)) \\ &\hspace{15em} -(x_3+u_3(x_1,x_2,x_3))]^2 \\ &\approx \left(dx_1 +\frac{\partial u_1}{\partial x_1} dx_1 +\frac{\partial u_1}{\partial x_2} dx_2 +\frac{\partial u_1}{\partial x_3} dx_3 \right)^2 \\ &\quad + \left(dx_2 +\frac{\partial u_2}{\partial x_1} dx_1 +\frac{\partial u_2}{\partial x_2} dx_2 +\frac{\partial u_2}{\partial x_3} dx_3 \right)^2 \\ &\quad + \left(dx_3 +\frac{\partial u_3}{\partial x_1} dx_1 +\frac{\partial u_3}{\partial x_2} dx_2 +\frac{\partial u_3}{\partial x_3} dx_3 \right)^2 \end{align} の差を考えればよい.
ただし上の式変形において線形近似 \begin{align} f(x+dx) \approx f(x)+\left.\frac{df}{dx}\right|_x dx \end{align} を用いた.
以下 $\partial u_i/\partial x_j=:u_{ij}$ と置く.
変位 $u_i$ は微小であるとして $u_{ij}$ の2乗の項を落とせば, 上式は \begin{align} dl'^2 &\approx dx_1^2 +2u_{11} dx_1^2 +2u_{12} dx_1dx_2 +2u_{13} dx_1dx_3 \\ &\quad + dx_2^2 +2u_{21} dx_2dx_1 +2u_{22} dx_2^2 +2u_{23} dx_2dx_3 \\ &\quad + dx_3^2 +2u_{31} dx_3dx_1 +2u_{32} dx_3dx_2 +2u_{33} dx_3^2 \\ &= dl^2 +2 \sum_{i\,=\,j}u_{ij} dx_idx_j \\ &\quad +2 \sum_{i\,\lt\,j}\frac{1}{2}(u_{ij}+u_{ji}) dx_idx_j +2 \sum_{i\,\gt\,j}\frac{1}{2}(u_{ij}+u_{ji}) dx_idx_j \\ &= dl^2 +2 \sum_{i,j} \varepsilon_{ij}dx_idx_j \end{align} となる.
ここで導入した \begin{align} \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{ij}+u_{ji}) \tag{1} \end{align} がひずみである.
これは変位 $u$ を座標で微分したものなので無次元量であり（すなわち単位長さあたりの変位を表す）, 物体が変形しないときには値が0になる, 対称である（ $\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}$ ）などの性質を持つ.

3次元物体にかかる力

次に左辺の $F$ を3次元物体に対してどう定義するかを議論する.
大きさのある物体にかかる力は, 1次元のばねにかかる力のように単純ではない.
例えば直方体の同じ面に力を加えるといっても, 次のように2通りの力の加え方があるからである:
$\quad\,(\mathrm{i})\,$ 面に垂直に力を加える,
$\quad(\mathrm{ii})$ 面に水平に力を加える.
$\,(\mathrm{i})\,$ は垂直応力, $(\mathrm{ii})$ はせん断応力と区別される.
図1, 図2にこれら2種類の力と, それによる物体の変形を簡単に示した.
これらの応力を数式で表現するために, 3次元空間内の微小な直方体について考えることにする.
直方体の3平面にそれぞれ $\boldsymbol{\sigma}_1$ , $\boldsymbol{\sigma}_2$ , $\boldsymbol{\sigma}_3$ の単位面積当たりの力（応力）を及ぼす.
すると直方体にかかる応力は, $\sigma_{12}$ （ $\boldsymbol{\sigma}_1$ の $y$ 成分）など9つの成分で書かれることになる.
しかし, この直方体を物体を分割したものの1つと考えれば, この直方体は他の直方体と隣り合っており, それゆえ回転することが出来ない.
よってこの直方体の力のモーメントは0で, $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ が必要となる.
すなわち微小な直方体にかかる応力は, 結局6成分

$\begin{align} &\sigma_{11}, \quad \sigma_{12}=\sigma_{21}, \\ &\sigma_{22}, \quad \sigma_{23}=\sigma_{32}, \tag{2} \\ &\sigma_{33}, \quad \sigma_{31}=\sigma_{13} \end{align}$

で表される.


図1 垂直応力とそれによる変形	図2 せん断応力とそれによる変形

フックの法則（ひずみと応力の関係式）の導出

最後にひずみ $\varepsilon_{ij}$ と応力 $\sigma_{ij}$ の間の比例定数を導入すれば, それが求めたいHookeの法則となる.
式にして表せば, 6つの成分を持つ応力と6つの成分を持つひずみを結ぶ,

$\begin{align} \sigma_{ij}=\sum_{k,l} c_{ijkl} \varepsilon_{kl} \tag{3} \end{align}$

の係数 $c_{ijkl}$ を求めればよい（この係数は弾性係数テンソル（Wikipedia: 弾性率）と呼ばれる）.
この係数は座標の取り方によらないので, Kroneckerのdelta \begin{align} \delta_{ij} = \left\{ \begin{matrix} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\ne j) \end{matrix} \right. \end{align} を用いて \begin{align} c_{ijkl} = k_1 \delta_{ij}\delta_{kl} + k_2 \delta_{ik}\delta_{jl} + k_3 \delta_{il}\delta_{jk} \tag{4} \end{align} と表されるべきである.
これに $\sigma_{ij}$ と $\varepsilon_{kl}$ の対称性を用いると, （ $c_{ijkl}=c_{ijlk}$ などから） $k_2=k_3$ となる.
これを $(3)$ 式に再代入して,

$\begin{align} &\sigma_{ij} = \sum_{k,l} (k_1 \delta_{ij}\delta_{kl} + k_2(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})) \varepsilon_{kl} \tag{3$^\prime$} \\ \Leftrightarrow~ &\sigma_{11} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{11} \\ &\sigma_{22} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{22} \\ &\sigma_{33} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{33} \\ &\sigma_{12} = k_2(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{21}) \tag{5} \\ &\sigma_{23} = k_2(\varepsilon_{23}+\varepsilon_{32}) \\ &\sigma_{31} = k_2(\varepsilon_{31}+\varepsilon_{13}) \end{align}$

が得られる.
これが3次元弾性体におけるHookeの法則である.

最後にこの比例定数 $k_1$ , $k_2$ に少しだけ触れておくと, これらは材料力学ではLamé定数（Wikipedia: ラメ定数）と呼ばれており, $\lambda$ , $\mu$ で表される.
また $(5)$ 式を見ると, 垂直応力 $\sigma_{11}$ による2種類の変形 $\varepsilon_{11}$ および $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ はそれぞれYoung率およびPoisson比（Wikipedia: ヤング率, ポアソン比）と呼ばれる材料固有の定数と結びついている.
せん断応力 $\sigma_{12}$ による変形 $\varepsilon_{12}$ も, 剛性率（Wikipedia: 剛性率）と呼ばれる材料固有の定数と結びついている.
これらの定数の間の関係式は $(5)$ 式から導くことが出来るので, 詳しくは割愛する.

参考文献

[1] Theory of Elasticity Second edition, Landau, L. & Lifshitz, E., Pergamon Press, p.1-12 (1970).
[2] http://amonphys.web.fc2.com/amoncm.pdf, 連続体力学, あもんノート, p.3-6.