波動方程式から回折現象を導くその1

こんにちは.
もはや月1回の更新がデフォルトになってしまっているが, 久しぶりに進捗が生まれた気がするのでその結果をここにまとめておく.

今回はKirchhoffの積分定理（en.Wikipedia: Kirchhoff's diffraction formula）という回折現象を数学的に正しく記述する式を, 波動方程式から導出したい.
回折現象はHuygensの原理（Wikipedia: ホイヘンス＝フレネルの原理）から一応は定性的に説明されるのだが, どうにも（個人的に）好きになれないからである.
今回の記事は主に[1]を参考にした.

波動方程式の解が満たす式

まず2階の線形偏微分方程式である波動方程式の解の性質を調べる.
波動 $\xi=\xi(x,y,z,t)$ は次の波動方程式 \begin{align} \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} -\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right] \xi=0 \tag{1} \end{align} に従って伝播する.
ただし $v$ は波の位相速度（等位相面が移動する速度, $v=\omega/k$ ）で, $k$ は波数, $\omega$ は角振動数である.
もちろん $\omega$ は波数 $k$ に依存してよいが, 以下 $k$ を変化させることはないので, 全て定数とみなす.
この $(1)$ 式には2つの有名な解が存在する: 平面波解 \begin{align} \xi \propto e^{i(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)} \tag{2-1} \end{align} および球面波解 \begin{align} \xi \propto e^{i(kr-\omega t)}/r \qquad \left(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}~(\ne0)\right) \tag{2-2} \end{align} である.
$(1)$ 式にはこれら以外にも多数の解が存在することを考えて, \begin{align} \xi \propto a(x,y,z) \, e^{i(kL(x,y,z)-\omega t)} = u(x,y,z) \, e^{-i\omega t} \tag{2-3} \end{align} を $(1)$ 式の一般解とおく.
これを $(1)$ 式に再代入すると \begin{align} \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} +k^2\right] u=0 \tag{3} \end{align} が得られ, この式が波動の空間分布を定める（Wikipedia: ヘルムホルツ方程式）.

さて, $(3)$ 式にはこれまた無数の解が存在するが, $u_1$ , $u_2$ を共に $(3)$ 式の解であるとする.
すると等式 \begin{align} &u_1\nabla^2u_2 -u_2\nabla^2u_1 = -k^2u_1u_2+k^2u_1u_2 =0, \\ &u_1\nabla^2u_2 = \nabla\cdot(u_1\nabla u_2) -(\nabla u_1)\cdot(\nabla u_2) \end{align} より, \begin{align} &~\iiint_\mathrm{V} dV \left[u_1\nabla^2u_2 -u_2\nabla^2u_1\right] \\ =& \iiint_\mathrm{V} dV \left[\left(\nabla\cdot(u_1\nabla u_2) -(\nabla u_1)\cdot(\nabla u_2)\right) -\left(\nabla\cdot(u_2\nabla u_1) -(\nabla u_2)\cdot(\nabla u_1)\right)\right] \\ =& \iiint_\mathrm{V} dV \,\nabla\cdot(u_1\nabla u_2-u_2\nabla u_1) \\ =& \iint_\mathrm{S} dS \,\boldsymbol{n}\cdot(u_1\nabla u_2-u_2\nabla u_1) =0 \tag{4} \end{align} が成り立つ（Wikipedia: グリーンの定理）.
ただし簡単のために微分演算子ナブラ（ $\nabla$ , Wikipedia: ナブラ）を用いた.
1行目は任意な閉曲面 $\mathrm{S}$ で囲まれた3次元領域 $\mathrm{V}$ 内での積分を表し, 3行目から4行目はGaussの発散定理（Wikipedia: 発散定理）によって体積積分を表面積分に変換した.
$\boldsymbol{n}$ は閉曲面 $\mathrm{S}$ の法線ベクトルで, $\mathrm{S}$ から外側に生えている（図1参照）.


図1 閉曲面 $\mathrm{S}$ と $\mathrm{V}$ , $\boldsymbol{n}$ の概形	図2 観測点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{S}_1$ , $\mathrm{S}_2$ , $\mathrm{S}'$ の概形

キルヒホッフの積分定理の導出

ではいよいよ回折現象にかかわる問題に入って行きたいと思う.
無限に広い平面 $z=0$ によって $xyz$ 空間を2つに分割する.
この平面には開口部があり, $z<0$ からやってきた波はこの穴によって回折して $z>0$ に伝わるとする（ $z>0$ にある観測点 $\mathrm{P}$ における波動 $\xi(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P},t)$ を知ることが最終目標である）.
いま $\xi(x,y,z,t) = u_1(x,y,z) \, e^{-i\omega t}$ とすれば, $(3)$ 式を満たす任意の $u_2(x,y,z)$ に対して $(4)$ 式が成り立つ.
よって $u_2$ を観測点を波源とする球面波 \begin{align} u_2(x,y,z) = e^{ikr}/r \qquad \left(r=\sqrt{(x-x_\mathrm{P})^2+(y-y_\mathrm{P})^2+(z-z_\mathrm{P})^2}~(\ne0)\right) \tag{5} \end{align} として, $(4)$ 式に代入する（これはHuygensの原理からの類推）.
ただしここで注意が必要で, それは $u_2$ のこの設定によって点 $\mathrm{P}$ は特異点となることである（実際 $u_2$ は点 $\mathrm{P}$ では定義されない）.
よって領域 $\mathrm{V}$ としては, 点 $\mathrm{P}$ を中心とした半径 $R$ の球の $z \geq0$ 部分から, 点 $\mathrm{P}$ を中心とした半径 $\epsilon$ の球を除いたものとすればよい（図2参照）.
外側の表面のうち半径 $R$ の球面を $\mathrm{S}_1$ , 平面 $z=0$ を $\mathrm{S}_2$ , 半径 $\epsilon$ の球面（内側の表面）を $\mathrm{S}'$ とすると, $(4)$ 式は \begin{align} \iint_{\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2+\mathrm{S}'} dS \, \boldsymbol{n}\cdot\left(u_1\nabla \frac{e^{ikr}}{r}-\frac{e^{ikr}}{r}\nabla u_1\right) =0 \tag{6} \end{align} となる.
以下でこれを変形して $u_1(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P})$ を求める.

まず, $\mathrm{S}_1$ , $\mathrm{S}_2$ または $\mathrm{S}'$ 上の適当な点（点 $\mathrm{A}$ とでもおく）に対して $\boldsymbol{r}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ とすると, \begin{align} \nabla \frac{e^{ikr}}{r} = \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \frac{\partial}{\partial r} \frac{e^{ikr}}{r} = \frac{e^{ikr}}{r^3}(ikr-1)\boldsymbol{r}. \end{align} 次に, 点 $\mathrm{A}$ が $\mathrm{S}_1$ 上の点ならば $\boldsymbol{r}=R\boldsymbol{n}$ , 点 $\mathrm{A}$ が $\mathrm{S}_2$ 上の点ならば $\boldsymbol{n}=(0,0,-1)$ , 点 $\mathrm{A}$ が $\mathrm{S}'$ 上の点ならば $\boldsymbol{r}=-\epsilon\boldsymbol{n}$ , が成り立つ.
よって $(6)$ 式は \begin{align} &~\iint_{\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2+\mathrm{S}'} dS \, \boldsymbol{n}\cdot\left(u_1\nabla \frac{e^{ikr}}{r}-\frac{e^{ikr}}{r}\nabla u_1\right) \\ =& \iint_{\mathrm{S}_1} dS \, \boldsymbol{n}\cdot\left(u_1\frac{e^{ikR}}{R^3}(ikR-1)R\boldsymbol{n} -\frac{e^{ikR}}{R}\nabla u_1\right) \\ &+ \iint_{\mathrm{S}_2} dS \, (0,0,-1)\cdot\left(u_1\frac{e^{ikr}}{r^3}(ikr-1)\boldsymbol{r} -\frac{e^{ikr}}{r}\nabla u_1\right) \\ &+ \iint_{\mathrm{S}'} dS \, \boldsymbol{n}\cdot\left(-u_1\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon^3}(ik\epsilon-1)\epsilon\boldsymbol{n} -\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon}\nabla u_1\right) \qquad= 0 \end{align} となる（ $r=|\boldsymbol{r}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|$ なので）.
さて, 第1項は $R\to\infty$ の極限で0となり, 第3項は $\epsilon\to0$ の極限で \begin{align} &~\iint_{\mathrm{S}'} dS \, \boldsymbol{n}\cdot\left(-u_1\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon^3}(ik\epsilon-1)\epsilon\boldsymbol{n} -\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon}\nabla u_1\right) \\ =& \iint \epsilon^2d\Omega \, \left(u_1\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon^2}(1-ik\epsilon) -\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon}\boldsymbol{n}\cdot\nabla u_1\right) \\ =& \iint d\Omega \, \left(u_1\,e^{ik\epsilon}(1-ik\epsilon) -\epsilon e^{ik\epsilon} \boldsymbol{n}\cdot\nabla u_1\right) \\ \to & \iint d\Omega \, \left(u_1(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P})\,e^{ik0}(1-0)-0\right) \\ =&~ 4\pi u_1(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P}) \end{align} となる.
ただし1行目から2行目で面での積分 $dS$ から立体角での積分 $d\Omega$ に置換し, 4行目から5行目で全立体角は $4\pi$ であることを用いた.
以上をあわせると, $(6)$ 式は \begin{align} u_1(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P},z_\mathrm{P}) &= -\frac{1}{4\pi} \iint_{\mathrm{S}_2} dS \, (0,0,-1)\cdot\left(u_1\frac{e^{ikr}}{r^3}(ikr-1)\boldsymbol{r} -\frac{e^{ikr}}{r}\nabla u_1\right) \\ &= \frac{1}{4\pi} \iint_{\mathrm{S}_2} dS \, \left(\frac{e^{ikr}}{r^3}(1-ikr)z_\mathrm{P}\,u_1 -\frac{e^{ikr}}{r}\frac{\partial u_1}{\partial z}\right) \\ &= \frac{1}{4\pi} \iint_{\mathrm{S}_2} dS \, \frac{e^{ikr}}{r}\left(\frac{1-ikr}{r^2}z_\mathrm{P} -\frac{\partial}{\partial z}\right)u_1 \tag{7} \end{align} となる.
これがキルヒホッフの積分定理（の一部）である.
この式は, 面 $\mathrm{S}_2$ （すなわち平面 $z=0$ ）上で波 $u_1$ を積分することによって, 点 $\mathrm{P}$ での波が得られることを示している.
波 $u_1$ は開口部以外では0であるから, 開口部の波を積分することで $z>0$ での回折現象を式で得ることが出来る.