こんにちは. unvです.
今回の記事では, ぼくのアイコン (↓) がどういったものなのかを解説しようと思います.
この記事は前回の記事 (■) の続きです.
簡単な微積と平面曲線についての知識が必要です.
前回の記事をまだ読んでくださっていない方は, 先にそっちに目を通していただけると嬉しいです.
少々計算が重く, 本筋以外のところでかなりの労力が必要かもしれませんが... ついて来てください！
曲線の時間発展と可積分条件
弧長 
をパラメータとする曲線 
を考える.
は 
の曲率である.
以下 による微分を 
で表す.
前回の復習として, のパラメータ が弧長ならば 
は常に単位ベクトル (
) なのであった.
今, が時間発展することを考える.
すなわち, 曲線の形が 
のように時刻 
にも依存する場合である.
このとき弧長 も に依存するようになるため (
), ある時刻 に 
が全ての 
について成立するからといって, 次の瞬間にもそうであるとは限らないが, ここではそれが成り立つとする.
すなわち, 曲線 
は伸び縮みしないものとする.
このことを式で表すと,
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}s(t) = 0,
\end{align}
もしくは
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\left|\frac{\partial}{\partial s}\boldsymbol{P}(s;t)\right| = 0 \tag{14}
\end{align}
である. (14)式は
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}|\boldsymbol{P}'(s;t)| = \frac{\partial}{\partial t}\sqrt{\boldsymbol{P}'(s;t)\cdot\boldsymbol{P}'(s;t)}
= \frac{\boldsymbol{P}'(s;t)\cdot\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}'(s;t)}{\sqrt{\boldsymbol{P}'(s;t)\cdot\boldsymbol{P}'(s;t)}} = 0.
\end{align}
すなわち
\begin{align}
\boldsymbol{P}'(s;t)\cdot\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}'(s;t) = 0 \tag{14'}
\end{align}
となる.
これはベクトル 
と 
がつねに直交していることと同値であるから,
結局曲線 が伸び縮みしないことは,
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}'(s;t) = \lambda(s;t) C \boldsymbol{P}'(s;t),
\qquad C = \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \tag{15}
\end{align}
と同値である.
ただし 
は90°の回転行列であり, 
は適当な係数である.
(15)式で現れた係数 についてもう少し深掘りしよう.
前回の記事でフレネ-セレ基底とそれに関する公式
\begin{align}
F(s) = \begin{pmatrix}
\partial \xi/\partial s & - \partial \eta/\partial s \\
\partial \eta/\partial s & \partial \xi/\partial s
\end{pmatrix}, \qquad
\frac{\partial}{\partial s}F(s) = \kappa(s) F(s) C \tag{16}
\end{align}
を導いた.
フレネ-セレ基底の第1列 
は 
そのものであり, 第2列 
は 
であるから, (16)式は
\begin{align}
\left(\boldsymbol{P}'', C\boldsymbol{P}''\right) = \kappa \left(\boldsymbol{P}', C\boldsymbol{P}'\right) C
= \kappa \left(C\boldsymbol{P}', -\boldsymbol{P}'\right) \tag{16'}
\end{align}
と書き直せる (
は180°回転, すなわち-1倍である).
はどちらも長さが1でかつ直交するベクトルなので, 任意のベクトルをその線形結合で表すことができる.
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P} = \alpha\boldsymbol{P}' + \beta C\boldsymbol{P}' \tag{17}
\end{align}
としてこの式を で微分すると,
\begin{align}
\left(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}\right)'
&= \alpha'\boldsymbol{P}' + \alpha\boldsymbol{P}'' + \beta' C\boldsymbol{P}' + \beta C\boldsymbol{P}'' \\
&= (\alpha' - \beta\kappa) \boldsymbol{P}' + (\beta' + \alpha\kappa) C\boldsymbol{P}'
\qquad(\because(16'))
\end{align}
が得られる.
曲線 は についても についても連続かつ何回でも微分可能なものと思って良いので, 上式は微分の順序を入れ替えた
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}' = \lambda C \boldsymbol{P}' \tag{15}
\end{align}
と等しい.
こうして 
について2つの式
\begin{align}
\lambda = \beta' + \alpha\kappa, \qquad \alpha' - \beta\kappa = 0
\end{align}
が得られる.
次にフレネ-セレ基底 
の 微分について考える.
上で について 微分と 微分を交換したのと同様に,
についても 微分と 微分が交換されて欲しいからである.
(15)式, (17)式などから
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}F
= \left( \frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}', C\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{P}' \right)
= (\beta' + \alpha\kappa) F C
\end{align}
である.
これをさらに で微分した
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}F &= (\beta'' + \alpha'\kappa + \alpha\kappa') F C + (\beta' + \alpha\kappa) F' C \\
&= (\beta'' + \alpha'\kappa + \alpha\kappa') F C - \kappa (\beta' + a\kappa) F
\end{align}
と, (16)式を で微分した
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}F' &= \left( \frac{\partial\kappa}{\partial t} F + \kappa \frac{\partial}{\partial t}F \right) C \\
&= \frac{\partial\kappa}{\partial t} F C - \kappa (\beta' + \alpha\kappa) F
\end{align}
が等しいことが, (実は) 曲線 が存在する必要十分条件である:
\begin{align}
\dot{\kappa} = \beta'' + \alpha\kappa' + \beta\kappa^2. \qquad(\alpha' = \beta\kappa) \tag{18}
\end{align}
これを「可積分条件」(Integrability condition, Wikipedia 可積分条件) と呼ぶ.
ただし 微分を 
で表した.
この微分方程式の解となる 
によって描かれる曲線のうち,
孤立波的な振る舞いをするものをソリトン (https://ja.wikipedia.org/wiki/ソリトン:title Wikipedia ソリトン) と呼び,
ソリトン解を与える偏微分方程式をソリトン方程式と呼ぶ.
mKdV方程式
可積分条件を満たす系は「可積分系」としてそれ自体が大きな学問分野を形成している.
例えば「戸田格子」「KdV方程式」「サイン-ゴルドン方程式」などは応用上 (物理学的にも) 重要である.
興味のある読者の方にはそれぞれ調べていただくとして, ここでは「mKdV方程式」というものを導入する.
これは可積分条件において 
とした場合である (これらは 
を満たす).
このとき可積分条件は
\begin{align}
\dot{\kappa} +\kappa''' +\frac{3}{2}\kappa'\kappa^2 =0 \tag{22}
\end{align}
となる.
この方程式を「mKdV方程式」(modified コルトヴェーグ・ドフリース方程式, Wikipedia mKdV方程式) と呼ぶ.
これの解として, 
のみの関数として書ける解を考える (
は正定数).
伝搬する波などが 
を用いて書き表されることを考えると, これは伝搬 (進行) する波と考えられる.
相補的な変数として 
を用意すると, 
である.
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x_2}, \qquad
\frac{\partial}{\partial t} = -v\frac{\partial}{\partial x_1} + v\frac{\partial}{\partial x_2}
\end{align}
より, mKdV方程式は
\begin{align}
&\left( -v\frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{\partial^3}{\partial x_1^3} + \frac{3}{2}\kappa^2 \frac{\partial}{\partial x_1} \right) \kappa =0 \\
\therefore~&\frac{\partial}{\partial x_1} \left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\kappa -v\kappa + \frac{1}{2}\kappa^3 \right) = 0 \tag{22'}
\end{align}
となる. 
を積分定数として順次積分していくと,
\begin{align}
&\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\kappa -v\kappa + \frac{1}{2}\kappa^3 = c_0, \\
&\frac{\partial}{\partial x_1} \left(\frac{1}{2} \left(\frac{\partial\kappa}{\partial x_1}\right)^2 -\frac{v}{2}\kappa^2 + \frac{1}{8}\kappa^4 - c_0 \kappa \right) = 0, \quad(\mbox{上式に}\partial\kappa/\partial x_1\mbox{を乗じた.}) \\
&\frac{1}{2} \left(\frac{\partial\kappa}{\partial x_1}\right)^2 -\frac{v}{2}\kappa^2 + \frac{1}{8}\kappa^4 - c_0 \kappa = c_1, \\
&\frac{\partial\kappa}{\partial x_1} = \frac{1}{2}\sqrt{ - \kappa^4 +4v\kappa^2+ 8c_0 \kappa + 8c_1},
\end{align}
もしくは
\begin{align}
x_1 = \int \frac{2d\kappa}{\sqrt{ - \kappa^4 + 4v \kappa^2 + 8c_0 \kappa + 8c_1 }} \tag{22'}
\end{align}
が得られる.
すなわち, 
式 を逆解きしたものがmKdV方程式の解となる.
(22')式において 
としたものは (単に) ソリトンと呼ばれる.
\begin{align}
x_1 = \int \frac{2d\kappa}{\kappa\sqrt{ - \kappa^2 +4v}}
= -\frac{1}{\sqrt{v}}\mathrm{arctanh}{\sqrt{1 - \frac{\kappa^2}{4v}}}
\end{align}
となるので (
は双曲線関数 
の逆関数),
\begin{align}
\kappa(s;t) &= \sqrt{4v\left(1 - \tanh^2{\sqrt{v}x_1}\right)}
= 2\sqrt{v} \, \mathrm{sech}{\sqrt{v}(s-vt)}, \\
\theta(s;t) &= \int_0^s \kappa(s';t) ds' = 2\sqrt{v} \int_0^s \mathrm{sech}{\sqrt{v}(s'-vt)} ds' \\
&= 4\left(\arctan{[\tanh{(\sqrt{v}(s-vt)/2)}]} + \arctan{[\tanh{(v^{3/2}t/2)}]} \right) \tag{23}
\end{align}
と求まる (
は双曲線関数 
の"逆数").
\begin{align}
\begin{aligned}
\cos{4x} = 1 - 8\sin^2{x}\cos^2{x}, &\quad \sin{4x} = 4\sin{x}\cos{x}\,(2\cos^2{x}-1), \\
\cos{(\arctan{x})} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, &\quad \sin{(\arctan{x})} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{aligned}
\tag{24}
\end{align}
であることから, 便宜上 
の第1項を 
, 第2項を 
と書けば,
\begin{align}
\cos{\theta_1(s;t)} &= 1-2\tanh^2{\sqrt{v}(s-vt)}, \\
\sin{\theta_1(s;t)} &= 2\tanh{\sqrt{v}(s-vt)}\,\mathrm{sech}{\,\sqrt{v}(s-vt)}, \\
\cos{\theta_2(t)} &= 1-2\tanh^2{(v^{3/2}t)}, \\
\sin{\theta_2(t)} &= 2\tanh{(v^{3/2}t)}\,\mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}, \\
\int_0^s \cos{\theta_1(s';t)} ds' &= -s+\frac{2}{\sqrt{v}}\left(\tanh{\sqrt{v}(s-vt)}+\tanh{(v^{3/2}t)}\right), \\
\int_0^s \sin{\theta_1(s';t)} ds' &= -\frac{2}{\sqrt{v}}\left(\mathrm{sech}{\,\sqrt{v}(s-vt)} - \mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}\right)
\end{align}
より, (23)式で定めたソリトン解が描く曲線は
\begin{align}
\begin{aligned}
\xi(s;t) &= \frac{2}{\sqrt{v}}\left(1-2\tanh^2{(v^{3/2}t)}\right) \left(-\frac{\sqrt{v}s}{2}+\tanh{\sqrt{v}(s-vt)}+\tanh{(v^{3/2}t)}\right) \\
&\quad + \frac{4}{\sqrt{v}} \tanh{(v^{3/2}t)}\,\mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}
\left(\mathrm{sech}{\,\sqrt{v}(s-vt)} - \mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}\right), \\
\eta(s;t) &= -\frac{2}{\sqrt{v}} \left(1-2\tanh^2{(v^{3/2}t)}\right)
\left(\mathrm{sech}{\,\sqrt{v}(s-vt)} - \mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}\right) \\
&\quad + \frac{4}{\sqrt{v}}\tanh{(v^{3/2}t)}\,\mathrm{sech}{\,(v^{3/2}t)}
\left(-\frac{\sqrt{v}s}{2}+\tanh{\sqrt{v}(s-vt)}+\tanh{(v^{3/2}t)}\right)
\end{aligned}
\tag{25}
\end{align}
であると分かった. 下図1にその曲線を示す.
 |
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図1 ソリトン.
時刻 を増加させたときの振る舞いを薄青→青 ( ) →紫で示した. |
図2 代数的ソリトン.
時刻 を増加させたときの振る舞いを薄青→青 () →紫で示した. |
(22')式の分母の多項式
\begin{align}
- \kappa^4 + 4v \kappa^2 + 8c_0 \kappa + 8c_1 = 0
\end{align}
について, が3重解を持つとしたときを「代数的ソリトン」と呼ぶ
(4重解はあり得ないことはすぐに示されるので, これが最大の重解である).
仮にその重解を 
, 残り1つの解を 
と置くと, 解と係数の関係より
\begin{align}
3p+q = 0, \quad 3p^2+3pq = -4v, \quad p^3+3p^2q = 8c_0, \quad p^3q = - 8c_1,
\end{align}
すなわち
\begin{align}
p = \sqrt{\frac{2}{3}v}, \quad q = -\sqrt{6v}, \quad c_1 = \frac{1}{6}v^2=, \quad c_0 = -\sqrt{\frac{8}{27}v^3}
\end{align}
となる. これを(22')式に代入すると と が順次得られる:
\begin{align}
x_1 &= \int \frac{2d\kappa}{\sqrt{ - \left(\kappa - p\right)^3\left(\kappa + 3p\right) }}
= \frac{1}{p}\sqrt{\frac{3p+\kappa}{p-\kappa}}. \\
\therefore~ \kappa(s;t) &= p - \frac{4p}{1+p^2(s-vt)^2}, \\
\theta(s;t) &= ps - 4\arctan{p(s-vt)} + 4\arctan{pvt}. \quad\left(p = \sqrt{2v/3}\right) \tag{26}
\end{align}
(24)式より
\begin{align}
\cos{(4\arctan{x})} = 1-\frac{8x^2}{(1+x^2)^2}, \quad \sin{(4\arctan{x})} = \frac{4x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.
\end{align}
なので, (26)式第1,2項をまとめて , 第3項を と書くことにすると,
については
\begin{align}
\cos{\theta_1(s;t)} &= \left(1-\frac{8p^2(s-vt)^2}{(1+p^2(s-vt)^2)^2}\right) \cos{ps}
+ \frac{4p(s-vt)(1-p^2(s-vt)^2)}{(1+p^2(s-vt)^2)^2} \sin{ps} \\
&= \cos{ps} - \frac{4}{p}\frac{\partial}{\partial s}\left[\frac{\sin{ps}-p(s-vt)\cos{ps}}{1+p^2(s-vt)^2}\right], \\
\sin{\theta_1(s;t)} &= \left(1-\frac{8p^2(s-vt)^2}{(1+p^2(s-vt)^2)^2}\right) \sin{ps}
- \frac{4p(s-vt)(1-p^2(s-vt)^2)}{(1+p^2(s-vt)^2)^2} \cos{ps} \\
&= \sin{ps} + \frac{4}{p}\frac{\partial}{\partial s}\left[\frac{p(s-vt)\sin{ps}+\cos{ps}}{1+p^2(s-vt)^2}\right], \\
\int_0^s \cos{\theta_1(s';t)} ds' &= \frac{1}{p} \left[\sin{ps'} - 4\frac{\sin{ps'}-p(s'-vt)\cos{ps'}}{1+p^2(s'-vt)^2}\right]_0^s \\
&= \frac{1}{p} \left( \sin{ps} + 4\frac{p(s-vt)\cos{ps}-\sin{ps}}{1+p^2(s-vt)^2} + \frac{4pvt}{1+(pvt)^2} \right), \\
\int_0^s \sin{\theta_1(s';t)} ds' &= \frac{1}{p} \left[ -\cos{ps'} + 4\frac{p(s'-vt)\sin{ps'}+\cos{ps'}}{1+p^2(s'-vt)^2}\right]_0^s \\
&= \frac{1}{p} \left( -\cos{ps} + 4\frac{p(s-vt)\sin{ps}+\cos{ps}}{1+p^2(s-vt)^2} + \frac{-3+(pvt)^2}{1+(pvt)^2} \right)
\end{align}
となる.
についてはただの加法定理なので, 代数的ソリトンが定める曲線は
\begin{align}
\begin{aligned}
\xi(s;t) &= \left(1-\frac{8(pvt)^2}{(1+(pvt)^2)^2}\right) \int_0^s \cos{\theta_1(s';t)} ds' \\
&\quad - \frac{4pvt(1-(pvt)^2)}{(1+(pvt)^2)^2} \int_0^s \sin{\theta_1(s';t)} ds', \\
\eta(s;t) &= \frac{4pvt(1-(pvt)^2)}{(1+(pvt)^2)^2} \int_0^s \cos{\theta_1(s';t)} ds' \\
&\quad + \left(1-\frac{8(pvt)^2}{(1+(pvt)^2)^2}\right) \int_0^s \sin{\theta_1(s';t)} ds'
\end{aligned}
\tag{27}
\end{align}
によって記述されることがわかる.
上図2にその曲線を示した.
mKdV方程式はここで紹介した2つ以外にも無数の解を持ちます.
参考文献を示しておきますので, 興味がある方は見てみてください.
なんでこれをアイコンにしたのか若干謎ではありますが, おそらく見た目が面白かったからでしょうねw
導出もなかなかイカツい式ばかりでかなり大変でしたが, こうして不思議な見た目の (しかも物理的にはまぁまぁ重要な) 曲線が描けるというのは達成感がありますね.
今回も読んでくれてありがとうございました☆
以上あなばでした☆
参考文献
[1] 曲線とソリトン (開かれた数学4), 井ノ口 順一 (2010, 朝倉書店).
[2] 曲面と可積分系 (現代基礎数学18), 井ノ口 順一 (2015, 朝倉書店).
[3] 非線形波動とソリトン, 戸田 盛和 (2000, 日本評論社).
この記事の内容からは飛躍しますが, ソリトン研究の第一人者であった戸田先生の名著です.
