固体を伝わる音 - あなばブログ

音は空気中でも水中でも, さらには固体の中でも伝搬する.
固体中での音の速さは, Wikipediaの音速のページ（Wikipedia: 音速）を見ると突然
「 $K$ を体積弾性率, $G$ を剛性率として, 縦波の場合 \begin{align} c_l = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho}}, \tag{1} \end{align} 横波の場合 \begin{align} c_t = \sqrt{\frac{G}{\rho}}, \tag{2} \end{align} である」
と紹介される（Wikipedia: 体積弾性率, 剛性率）.
今回の記事の目標はこの2式を証明することである.
「固体音速導出」などでググってもすぐには見つからなかったが, その理由は導出があまり簡単ではなかったからであった....

そもそも音とは弾性波（Wikipedia: 弾性波）のことで, 密度の揺らぎやねじれによる波を指す.
例えば, 我々が普段使う「音波」とは, 空気中を伝わる密度の揺らぎ（疎密波と呼ばれる）である.
よって固体中を伝わる音も, 固体の密度の揺らぎやねじれであると考えられる.
さて, 波 $\psi$ の速さ $v$ を求めるには, 波動方程式 \begin{align} \left[\frac{\partial^2}{\partial^2 t}-v^2\nabla^2 \right] \psi =0 \tag{1} \end{align} を導出するのがよいだろう.
そのためにまず, 固体が従う運動方程式（変位の運動方程式）を導出する.
なお, この記事では密度 $\rho$ の均一で等方的な弾性体中を伝わる音波について考え, また重力や電磁気力などの外力は全て無視する.

変位の運動方程式

以下では前回（■）導出したHookeの法則

$\begin{align} &\sigma_{11} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{11} \\ &\sigma_{22} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{22} \\ &\sigma_{33} = k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{33} \\ &\sigma_{12} = k_2(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{21}) \tag{2} \\ &\sigma_{23} = k_2(\varepsilon_{23}+\varepsilon_{32}) \\ &\sigma_{31} = k_2(\varepsilon_{31}+\varepsilon_{13}) \end{align}$

を用いる.
固体中の微小な直方体（1辺の長さは $dx$ , $dy$ , $dz$ ）を考える.
この直方体の中心の位置を $\boldsymbol{u}(t)$ , この直方体にかかる合力を $\boldsymbol{F}$ とすると, 運動方程式は \begin{align} \rho dxdydz \frac{d^2\boldsymbol{u}}{dt^2} = \boldsymbol{F} \tag{3} \end{align} であるから, $\boldsymbol{F}$ を考えればよい.
さて, 前回Hookeの法則を導出した際の議論によれば, この微小な直方体の面にはそれぞれ $\boldsymbol{\sigma}_i$ （ $i=1,2,3$ ）の応力がかかるのであった.
この応力は正方向と負方向どちらからも働くことに注意すると, 結局の合力 $\boldsymbol{F}$ は

$\begin{align} \boldsymbol{F} &= \boldsymbol{\sigma}_1(u_1+dx) dydz -\boldsymbol{\sigma}_1(u_1) dydz \\ &\quad +\boldsymbol{\sigma}_2(u_2+dy) dzdx -\boldsymbol{\sigma}_2(u_2) dzdx \\ &\quad +\boldsymbol{\sigma}_3(u_3+dz) dxdy -\boldsymbol{\sigma}_3(u_3) dxdy \\ &\approx \left(\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}_1}{\partial x} + \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}_2}{\partial y} + \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}_3}{\partial z} \right) dxdydz \tag{4} \end{align}$

となる（応力は単位面積あたりに働く力なので）.
ただし上の式変形において線形近似 \begin{align} f(x+dx) \approx f(x)+\left.\frac{df}{dx}\right|_x dx \end{align} を用いた.
Hookeの法則 $(2)$ 式およびひずみの定義 \begin{align} \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \tag{5} \qquad~(x_1=x,~x_2=y,~x_3=z) \end{align} を用いて $(4)$ 式をさらに変形すると, $\boldsymbol{F}$ の第1成分は

$\begin{align} F_1 &\approx \left(\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{21}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{31}}{\partial z} \right) dxdydz \\ &= \left(\frac{\partial}{\partial x} (k_1(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+2k_2\varepsilon_{11})\right. \\ &\qquad + \left. \frac{\partial}{\partial y} k_2(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{21}) + \frac{\partial}{\partial z} k_2(\varepsilon_{31}+\varepsilon_{13}) \right) dxdydz \\ &= \left(k_1 \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z} \right) + 2k_2 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u_1}{\partial x} \right. \\ &\qquad + \left. k_2 \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u_1}{\partial y} + \frac{\partial u_2}{\partial x}\right) + k_2 \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u_1}{\partial z} + \frac{\partial u_3}{\partial x}\right) \right) dxdydz \\ &= (k_1+k_2) \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z} \right) dxdydz \\ &\qquad + k_2 \left(\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_1}{\partial z^2} \right) dxdydz \end{align}$

となる.
同様にして $\boldsymbol{F}$ の第2, 第3成分も求めれば, 運動方程式 $(3)$ 式は微分演算子ナブラ（ $\nabla$ , Wikipedia: ナブラ）を用いて簡単に, \begin{align} \rho \frac{d^2\boldsymbol{u}}{dt^2} = (k_1+k_2) \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u}) + k_2 \nabla^2 \boldsymbol{u} \tag{3$^\prime$} \end{align} と書ける.
これが弾性体に関する変位の運動方程式である.
これは $\boldsymbol{u}$ に関する微分方程式となっており, 変形を初期条件として与えてやれば, その後の運動が逐次求まる.

波動方程式の導出

上で求めた $(3')$ 式中の変位 $\boldsymbol{u}$ は, 2種類の変形からなっている:
$\quad\,(\mathrm{i})\,$ 密度のみ変化し, 回転しない,
$\quad(\mathrm{ii})$ 回転成分のみ持ち, 密度は変わらない.
すなわち, $(\mathrm{i})$ は密度揺らぎによる波, $(\mathrm{ii})$ はねじれによる波を表す.
これを式で表現したのがHelmholtzの定理 \begin{align} \boldsymbol{u} = -\nabla\phi+\nabla\times\boldsymbol{A} \tag{6} \end{align} である（Wikipedia: ヘルムホルツの定理）.
$(6)$ 式の第1項 $-\nabla\phi$ が $(\mathrm{i})$ に対応し, 第2項 $\nabla\times\boldsymbol{A}$ が $(\mathrm{ii})$ に対応する.
これは, 微分演算子 $\nabla$ には2つの関係 \begin{align} \nabla\times(\nabla\phi)=\boldsymbol{0}, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0 \tag{7} \end{align} が成り立つからである.
この事実を用いると, $(3')$ 式に $(6)$ 式を代入して \begin{align} (\mathrm{lhs}) &= \rho \frac{d^2}{dt^2} (-\nabla\phi+\nabla\times\boldsymbol{A}) \\ &= -\rho \nabla\left(\frac{d^2\phi}{dt^2}\right) +\rho \nabla\times\left( \frac{d^2\boldsymbol{A}}{dt^2} \right), \\[2pt] (\mathrm{rhs}) &= (k_1+k_2) \nabla\,(\nabla\cdot(-\nabla\phi+\nabla\times\boldsymbol{A})) + k_2 \nabla^2 (-\nabla\phi+\nabla\times\boldsymbol{A}) \\[2pt] &= -(k_1+2k_2) \nabla\,(\nabla\cdot\nabla\phi) + k_2 \nabla^2 (\nabla\times\boldsymbol{A}) \\[2pt] &= -(k_1+2k_2) \nabla\,(\nabla^2 \phi) + k_2 \nabla\times(\nabla^2 \boldsymbol{A}) \end{align} が得られる.
ただし3行目から4行目の変形に $(7)$ 式を用いた.
まとめると, 変位の運動方程式 $(3')$ 式は \begin{align} &\nabla\left(\frac{d^2\phi}{dt^2}\right) - \frac{k_1+2k_2}{\rho} \nabla\,(\nabla\cdot\nabla\phi) - \nabla\times\left( \frac{d^2\boldsymbol{A}}{dt^2} \right) + \frac{k_2}{\rho} \nabla^2 (\nabla\times\boldsymbol{A}) \\ &= \nabla\left( \frac{d^2\phi}{dt^2} - \frac{k_1+2k_2}{\rho}\nabla^2\phi \right) - \nabla\times\left( \frac{d^2\boldsymbol{A}}{dt^2} - \frac{k_2}{\rho} \nabla^2 \boldsymbol{A} \right) =0 \end{align} と変形できる.
上式はあらゆる位置と時間について成り立つので, 2つの波動方程式 \begin{align} \frac{d^2\phi}{dt^2} - \frac{k_1+2k_2}{\rho}\nabla^2\phi =0, \qquad \frac{d^2\boldsymbol{A}}{dt^2} - \frac{k_2}{\rho} \nabla^2 \boldsymbol{A} =0 \end{align} が成立することになる.
すなわち, 固体中の音波に関する2つの速度 \begin{align} c_l &= \sqrt{\frac{k_1+2k_2}{\rho}}, \tag{1$^\prime$} \\ c_t &= \sqrt{\frac{k_2}{\rho}}, \tag{2$^\prime$} \end{align} が得られた.
ここで $-\nabla\phi$ は「 $(\mathrm{i})$ 密度のみ変化し, 回転しない」ベクトルであったことを思い出すと, $\phi$ は疎密波（縦波）である.
同様に $\nabla\times\boldsymbol{A}$ は「 $(\mathrm{ii})$ 回転成分のみ持ち, 密度は変わらない」ベクトルであったから, $\boldsymbol{A}$ は横波である（地震学では疎密波はP波, 横波はS波と呼ばれる）.
上の $(1')$ , $(2')$ 式より明らかに $c_l>c_t$ であるから, これからS波よりP波のほうが速いということが分かる.

最後に $(1')$ , $(2')$ 式から $(1)$ , $(2)$ 式を導くために, Hookeの法則の比例定数 $k_1$ , $k_2$ と体積弾性率 $K$ , 剛性率 $G$ の関係に触れておく.
まず, 剛性率 $G$ はせん断弾性率とも呼ばれ, $G=k_2$ である.
次に, 体積弾性率 $K$ は熱力学でもよく用いられる量で,

$\begin{align} K &= \kappa^{-1}, \\ \kappa &= -\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial p} \\ &= -\left(\frac{\partial}{\partial\sigma_{11}}+\frac{\partial}{\partial\sigma_{22}} +\frac{\partial}{\partial\sigma_{33}}\right) (1-\varepsilon_{11})(1-\varepsilon_{22})(1-\varepsilon_{33}) \\ &\approx \left(\frac{\partial}{\partial\sigma_{11}}+\frac{\partial}{\partial\sigma_{22}} +\frac{\partial}{\partial\sigma_{33}}\right) (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) \\ &= \left(\frac{\partial}{\partial\sigma_{11}}+\frac{\partial}{\partial\sigma_{22}} +\frac{\partial}{\partial\sigma_{33}}\right) \frac{1}{3k_1+2k_2}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}) \\ &= \frac{3}{3k_1+2k_2} \end{align}$

である.
ただし3行目から4行目で $\varepsilon$ が微小量であるとして2次以上の項を落とし, 4行目から5行目の変形でHookeの法則 $(2)$ 式を用いた.

参考文献

[1] http://www2.kobe-u.ac.jp/~kakehi/kiso1_enshu/elastic_eq.pdf, 地球惑星科学基礎I演習資料, 筧楽麿.
[2] http://www.springer.com/978-0-387-75590-8, Vibrations of Thick Cylindrical Structures, Hamidzadeh, R. & Jazar, N., Springer, p.15-26 (2010).
[3] Theory of Elasticity Second edition, Landau, L. & Lifshitz, E., Pergamon Press, p.1-12 (1970).
[4] Introduction to Elastic Wave Propagation, Bedford, A. & Drumheller, D., Wiley, p.1-47 (1994).