電子ビームを収束させる（アインツェルレンズ）

今回は, 静電レンズ（Wikipedia: 電子レンズ）のうち, 特に「アインツェルレンズ（Einzel lens, en.Wikipedia: Einzel lens）」と呼ばれるものについて書きたいと思う.
このようなものを考える動機については, 電子ビームを曲げつつ収束させるを読んで頂きたい.
アインツェルレンズは, 荷電粒子を加速せず, 向きも変えずに収束させるレンズである.
今までの「境界値問題」と題した記事は, すべてこの記事のためにあったと言ってもよい…

アインツェルレンズ

アインツェルレンズは一般に図1のような構造となっている.
電極1および電極3の2つの中空円筒電極は電圧 $0$ にアースされており, 電極2にのみ電圧 $V~(\ne 0)$ が加えられている.
$V$ は正の場合も負の場合もあり, それぞれ加速型と減速型と呼ばれている.
入り口の電位と出口の電位が等しいので, この中を通過する粒子の最終的なエネルギーは入射時のエネルギーに等しい.
また, このアインツェルレンズの電位の中心軸付近の様子は, 中空円筒の作る電位（以前 3次元の静電位その2 で求めた）とほとんど等しい.
以下では $V$ が正の場合のみ取り扱うこととし, その電位形状 $\phi$ は（■）で求めたものと等しいとする.

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図1 アインツェルレンズの構造

図1のようにレンズの中心軸を $z$ 軸にとり, 開口部が $z=\pm(3l+d)$ になるように座標をとる（つまり原点が電極2の中心になるようにとる）.
この加速型アインツェルレンズに, 質量 $m$ , 電荷 $q$ の荷電粒子 $\mathrm{P}$ を入射させる.
粒子 $\mathrm{P}$ の進行方向はレンズの中心軸と一致しているとし, レンズへの入射位置 $r=\delta$ はレンズの半径 $R$ に比べて十分小さいとする.
すなわち, 円筒座標系でとった $\mathrm{P}$ の飛跡 $r(z)$ は \begin{align} r(-(3l+d))=\delta \ll R,\quad \frac{dr}{dz}(-(3l+d))=r'(-(3l+d))=0 \tag{A} \end{align} を満たす.

飛跡が満たす方程式

$\mathrm{P}$ はポテンシャル $\phi$ からCoulomb力を受けて運動する.
その運動方程式は, $\phi$ が偏角 $\theta$ に依存しないので \begin{align} m\frac{d^2r}{dt^2} = q\frac{\partial \phi}{\partial r}, \quad m\frac{d^2z}{dt^2} = q\frac{\partial \phi}{\partial z} \tag{1} \end{align} である.
今知りたいのは飛跡 $r(z)$ なので, $(1)$ 式から時間を消去する.
そのために2次元ベクトル $\boldsymbol{x}=(r,z)$ に対してベクトル $\boldsymbol{u}$ を \begin{align} \boldsymbol{u}:=\frac{d\boldsymbol{x}}{dz} = \begin{pmatrix} r' \\ 1 \end{pmatrix} \tag{2} \end{align} と定義し, $\boldsymbol{x}=(r,z)$ について成り立つ式 \begin{align} \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\boldsymbol{x}}{dz}\frac{dz}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{u}\frac{dz}{dt}\right) \\ &=\frac{d\boldsymbol{u}}{dt}\frac{dz}{dt}+\boldsymbol{u}\frac{d^2z}{dt^2} = \frac{d\boldsymbol{u}}{dz}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2+\boldsymbol{u}\frac{d^2z}{dt^2} \end{align} より \begin{align} m\left(\frac{d\boldsymbol{u}}{dz}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2+\boldsymbol{u}\frac{d^2z}{dt^2}\right) &= m \begin{pmatrix} r^{\prime\prime} \\ 0 \end{pmatrix} \left(\frac{dz}{dt}\right)^2 + m \begin{pmatrix} r' \\ 1 \end{pmatrix} \frac{d^2z}{dt^2} \\ &= q \begin{pmatrix} \partial \phi/\partial r \\ \partial \phi/\partial z \end{pmatrix} \tag{1$^\prime$} \end{align} を得る.
いま, $d\boldsymbol{x}/dt=\boldsymbol{u}dz/dt$ より, $|d\boldsymbol{x}/dt|=v$ とすれば \begin{align} v=|u|\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dt}\sqrt{1+(r')^2} \tag{3} \end{align} であり, エネルギー保存より \begin{align} \frac{1}{2}mv^2+q\phi=\mathrm{const.} =: q\Phi \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2q(\Phi-\phi)}{m}} \tag{4} \end{align} であるので, これらをあわせて, 飛跡に関する時間を含まない式 \begin{align} &m \begin{pmatrix} r^{\prime\prime} \\ 0 \end{pmatrix} \frac{2q(\Phi-\phi)}{(1+(r')^2)m} + m \begin{pmatrix} r' \\ 1 \end{pmatrix} \frac{q}{m}\frac{d\phi}{dz} = q \begin{pmatrix} \partial \phi/\partial r \\ \partial \phi/\partial z \end{pmatrix}. \\ \Rightarrow~&r^{\prime\prime}\frac{-2\phi_d}{1+(r')^2}+r'\frac{\partial \phi_d}{\partial z} =\frac{\partial \phi_d}{\partial r}. \\ \Leftrightarrow~& r^{\prime\prime} =\left(r'\frac{\partial \phi_d}{\partial z}-\frac{\partial \phi_d}{\partial r}\right) \frac{1+(r')^2}{2\phi_d} \tag{1$^{\prime\prime}$} \end{align} が得られた（ただし新しく $\phi_d:=\Phi-\phi$ とした）.
特に, この $(1^{\prime\prime})$ 式を $r/R \ll 1$ での近似を用いてより簡単にしたい.
その場合, $\phi_d(r,z)$ を $r=0$ を中心に冪級数で展開して, 高次項を落とせばよい: \begin{align} \phi_d(r,z) = \phi_d(0,z) -\frac{1}{4}r^2\frac{d^2\phi_d}{dz^2}(0,z) +\frac{1}{64}r^4\frac{d^4\phi_d}{dz^4}(0,z) +\cdots \end{align} より（証明は[2]）, $(1^{\prime\prime})$ 式は \begin{align} r^{\prime\prime} =-\frac{\phi_\mathrm{ax}'}{2\phi_\mathrm{ax}}r'+\frac{\phi_\mathrm{ax}^{\prime\prime}}{4\phi_\mathrm{ax}}r \tag{5} \end{align} となる.
ここで再び新しく $\phi_\mathrm{ax}(z):=\phi_d(0,z)=\Phi-\phi(0,z)$ とした.
この $(5)$ 式は1次軌道方程式と呼ばれており, $(\mathrm{A})$ のような中心軸に近い部分での荷電粒子の振る舞いを十分よく説明する[2].
なお, 以上の議論は[1], [2]を参考にした.

アインツェルレンズの焦点距離

$\phi_\mathrm{ax}(z)$ は $\phi$ および粒子の入射時のエネルギー $K_\mathrm{in}$ から求めることができる \begin{align} \phi(0,z) &\approx V\frac{R}{2s}\ln\frac{\sqrt{R^2+(z-l)^2}-(z-l)}{\sqrt{R^2+(z+l)^2}-(z+l)}, \\ \phi_\mathrm{ax}(z) &= (K_\mathrm{in}+\phi(0,-3l-d)) -\phi(0,z). \end{align} すなわち $(5)$ 式より荷電粒子の飛跡が求まる.
さらに $(5)$ 式は線形なので, 各粒子 $\mathrm{P}_N$ の入射速度が一定ならば, $r_N(z)=0$ となる $z$ は入射位置 $r_N(-(3l+d))$ に依存しない.
すなわち, アインツェルレンズには焦点が存在する.
しかし $\phi$ が複雑なことからも明らかなように, 焦点距離を解析的に求めることはできない.
そこで, $R=10~\mathrm{mm}$ , $l=10~\mathrm{mm}$ , $d=2.0~\mathrm{mm}$ , $V=100~\mathrm{V}$ とし, 構造パラメタ $s$ を $s=R$ （これに物理的な理由はない. $s$ の求め方があったら教えてください）として, 焦点距離を入射粒子のエネルギー $K_\mathrm{in}~\mathrm{eV}$ の関数として求めるプログラムを作成した.
その結果は図2, 図3の通りである.
ただし, 図2において電極が存在する部分に薄く紫で示した.


図2 $K_\mathrm{in}=150~\mathrm{eV}$ の粒子の飛跡	図3 焦点距離の $K_\mathrm{in}$ 依存性

定性的な説明

上で見たように, 確かにアインツェルレンズには焦点が存在すると分かった.
この事実は定性的に（数式を使わずに）ある程度説明できて, それは次のようなものである:
入射粒子が正電荷を帯びているとすると, 正の電圧を帯びた電極2に近づくにつれて粒子は減速する.
よって粒子が電極1から電極2に至る時間より, 電極2から電極3に至る時間のほうが長い.
電極1から電極2に至る経路は粒子を発散させるような電位になっており, 電極2から電極3に至る経路は粒子を収束させるような電位になっている（これは ■ の図3や, 参考文献[3]の図11, またはこの記事の図2を見れば分かる）.
よって以上を総合すると, このレンズは収束作用を持つと分かる.
なお, 以上の議論は[3], [4]を参考にした.