古典波動の散乱（散乱2）

あけましておめでとうございます（遅い）.
今年こそ人間になりたいものです. がんばります.
さて, 前回（■）は粒子の散乱を扱ったが, 今回は波とくに電磁波の散乱（これは回折とあまり変わらないと思うが）について.

トムソン散乱

ここでは標的粒子によって波が散乱される場合を取り扱う.
この現象の最も簡単な例は, 水面に浮きが浮いており, そこに平面波が入射波として押し寄せる状況であろう.
浮きを点とみなすことが出来れば, 散乱波は円形に（球面波の断面として）広がる（Huygensの原理, 波動方程式から回折現象を導くその1 も参考にされたい）.
ではこれが水面波でなく音波などの横波であったり, あるいは3次元的な波であったら, 散乱波はどうなるであろうか？
そのためにはまず入射波による標的粒子の運動を考え, 次に標的粒子から次々生じる球面波を重ね合わせればよい.
以下では標的粒子を電子（質量 $m$ , 電荷 $-e$ ）とし, 入射波を電磁波とする.
この散乱はThomson散乱（Wikipedia: トムソン散乱）と呼ばれ, 古典電磁気学の非常に重要な結果のひとつである.

はじめ標的粒子は原点に存在し, そこに角振動数 $\omega$ の平面波 $\boldsymbol{E}_\mathrm{in}(x,y,z,t)=\boldsymbol{E}_\mathrm{i}e^{i\omega(z-ct)/c}$ が入射してくるとする.
ただし $\boldsymbol{E}_\mathrm{i}$ は進行方向に垂直な電場ベクトルである.
すると標的粒子の運動方程式は, \begin{align} m\ddot{\boldsymbol{r}}(t) &= -e\boldsymbol{E}_\mathrm{in}(x,y,z,t) \\ &=-e\boldsymbol{E}_\mathrm{i} e^{-i\omega t} \tag{1} \end{align} となり, 結局 \begin{align} \boldsymbol{r}(t) = \frac{e\boldsymbol{E}_\mathrm{i}}{m\omega^2} e^{-i\omega t} \tag{1$^\prime$} \end{align} となる.
電子が動けば電流が生じ, 電流があれば磁場も生じる.
それらが観測点まで光速 $c$ で伝わるため, 観測される電場の導出は非常に複雑である.
ここでは結果だけ借りてくると, 観測点 $\boldsymbol{x}$ での散乱波 $\boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(\boldsymbol{x},t)$ は \begin{align} \boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(\boldsymbol{x},t) = \frac{e}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{n}) (1-\boldsymbol{\beta}^2)} {(1-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{n})^3 |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|^2} + \frac{\boldsymbol{n} \times \left\{(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{n}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right\}} {c (1-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{n})^3 |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|} \right]_{t'} \tag{2} \end{align} で与えられる（Wikipedia: リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル_#対応する電磁場）[1][2].
ただし, 式中の時間は $t=t'+|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|/c$ の解 $t'$ で記述され, $\boldsymbol{\beta}(t)=\dot{\boldsymbol{r}}(t)/c$ , $\boldsymbol{n}(t)=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)|$ である.
$(2)$ 式の第1項は静電場のようなもので, 第2項のみ考えればよい: \begin{align} \boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(\boldsymbol{x},t) &\approx \frac{e}{4\pi\epsilon_0} \left. \frac{\boldsymbol{n} \times \left\{(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{n}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right\}} {c (1-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{n})^3 |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|} \right|_{t'} \\ &\approx \frac{-e}{4\pi\epsilon_0c} \left. \frac{\boldsymbol{n} \times \left\{\boldsymbol{n} \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right\}} {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|} \right|_{t'} \\ &\approx \frac{-e}{4\pi\epsilon_0c} \left. \frac{\boldsymbol{x} \times \left\{\boldsymbol{x} \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right\}} {|\boldsymbol{x}|^3} \right|_{t'=\,t-|\boldsymbol{x}|/c}. \tag{3} \end{align} ただし2行目の変形で $|\boldsymbol{\beta}|\ll1=|\boldsymbol{n}|$ を, 3行目の変形で $|\boldsymbol{r}|\ll|\boldsymbol{x}|$ を用いて近似した.
$(3)$ 式に $(1')$ 式を代入すれば, 求めたい散乱波が \begin{align} \boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(\boldsymbol{x},t) &\approx \frac{-e}{4\pi\epsilon_0c^2|\boldsymbol{x}|^3} \left. \boldsymbol{x} \times \left\{\boldsymbol{x} \times \ddot{\boldsymbol{r}}\right\} \right|_{t'=\,t-|\boldsymbol{x}|/c} \\ &= \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m|\boldsymbol{x}|^3} \boldsymbol{x} \times \left\{\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{E}_\mathrm{i} \right\} e^{-i\omega (t-|\boldsymbol{x}|/c)} \tag{4} \end{align} と得られる.
最後にこの $(4)$ 式を散乱角 $\theta$ を用いて書き直す必要がある.
入射波の電場ベクトル $\boldsymbol{E}_\mathrm{i}$ を仮に $x$ 方向の直線偏光 \begin{align} \boldsymbol{E}_\mathrm{i} = E_\mathrm{i} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} であるとし, 観測点を球座標を用いて \begin{align} \boldsymbol{x} = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta) \end{align} と書けば, 散乱波の角度分布 $\boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(r, \theta, \phi, t)$ は \begin{align} \boldsymbol{E}_\mathrm{sc}(r, \theta, \phi, t) &\,= -\frac{e^2E_\mathrm{i}}{4\pi\epsilon_0c^2m} \begin{pmatrix} \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta \\ \sin^2\theta \sin\phi \cos\phi \\ \sin\theta \cos\theta \cos\phi \end{pmatrix} \frac{e^{-i\omega(t-r/c)}}{r} \\ &:= \boldsymbol{E}_\mathrm{o}(\theta, \phi) \frac{e^{i\omega(r-ct)/c}}{r} \\ \end{align} となる.
$e^{i\omega(r-ct)/c}/r$ は球面波を表すから, はじめに述べたように平面波が入射し球面波が散乱されることが分かる.
観測される回折強度 $I_\mathrm{linpol}(\theta, \phi)$ は入射波と散乱波の強度（二乗の比）の比なので \begin{align} I_\mathrm{linpol}(\theta,\phi) &:= \frac{|\boldsymbol{E}_\mathrm{o}(\theta, \phi)|^2}{|\boldsymbol{E}_\mathrm{i}|^2} \\ &\,= \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \left( \begin{matrix} (\sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta)^2 \\ + (\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi)^2 + (\sin\theta \cos\theta \cos\phi)^2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \left( \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta \right) \tag{5} \end{align} となる.
図1にこの場合の小角散乱による回折像を載せた.
非偏光（つまりあらゆる方向の直線偏光の重ね合わせ）が入射した場合には, $(5)$ 式を $\phi$ について平均して \begin{align} I_\mathrm{unpol}(\theta) &= \int \frac{d\phi}{2\pi} I_\mathrm{linpol}(\theta,\phi) \\ &= \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{2\pi} \left( \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta \right) \\ &= \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \left(\frac{1}{2} \sin^2\theta + \cos^2\theta \right) \\ &= \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \frac{1+\cos^2\theta}{2} \tag{6} \end{align} となる.
図2にこの場合の小角散乱による回折像を載せた.
最後にThomson散乱の散乱断面積は, 前回の $(5)$ 式を用いて

$\begin{align} \sigma &= \int_0^\pi 2\pi I_\mathrm{unpol}(\theta) \sin\theta d\theta \\ &= \pi \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \int_0^\pi d\theta(1+\cos^2\theta)\sin\theta \\ &= \frac{8}{3}\pi \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \right)^2 \tag{7} \end{align}$

と有限の値になる.
なお, この文中頻繁に登場した \begin{align} r_\mathrm{e} := \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0c^2m} \end{align} は古典電子半径（Wikipedia: 古典電子半径）と呼ばれ, 古典物理学に基づいて計算した電子の半径となっている（現在では電子に大きさはないと考えられている）.
すなわち, Thomson散乱による電子の断面積は, 電子の古典的断面積 $\pi r_\mathrm{e}^2$ に大体等しい.