偏光状態の変化その2 - あなばブログ

前回（■）は光の反射角および屈折角を導出した.
それによると反射角および屈折角は光の偏光状態には依存せず, 特に反射角は入射角のみに依存する（これは今回の話とは関係ないのだが, もちろん屈折角は光の波長などには依存する）.
しかし反射光および透過光の振幅は偏光状態に依存する.
今回は一般の条件下で反射率と透過率を求めたのち, 屈折角が定義できない状況での透過光を議論する.

反射率と透過率の導出

前回得た式のうち重要なものは, \begin{align} &\begin{matrix} \boldsymbol{E}_{1\mathrm{L}} = \boldsymbol{E}_{2\mathrm{L}}, &\boldsymbol{D}_{1\mathrm{T}} = \boldsymbol{D}_{2\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{H}_{1\mathrm{L}} = \boldsymbol{H}_{2\mathrm{L}}, &\boldsymbol{B}_{1\mathrm{T}} = \boldsymbol{B}_{2\mathrm{T}}, \end{matrix} \tag{3} \\ &\epsilon_1E_{1\mathrm{TM}}\sin\alpha + \epsilon_1E_{1\mathrm{TM}}'\sin\beta = \epsilon_2 \frac{k_{2y}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}}, \\ &E_{1\mathrm{TM}}\cos\alpha + E_{1\mathrm{TM}}'\cos\beta = \frac{k_{2x}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}}, \tag{6} \\ &E_{1\mathrm{TE}} + E_{1\mathrm{TE}}' = E_{2\mathrm{TE}}, \\ &\sin\beta=-\sin\alpha, \tag{7-1} \\ &k_{2y}=k_1\sin\alpha~~\mathrm{or}~~\sin\gamma=(n_1/n_2)\sin\alpha \tag{7-2} \end{align} であった.
ここで媒質 $i$ （ $i=1,2$ ）に対して
$\boldsymbol{E}$ は電場, $\boldsymbol{D}=\epsilon\boldsymbol{E}$ は電束密度, $\epsilon_i$ は媒質 $i$ の誘電率,
$\boldsymbol{H}$ は磁場, $\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$ は磁束密度, $\mu_i$ は媒質 $i$ の透磁率,
$E_1$ は入射波の電場の振幅, $E_1'$ は反射波の電場の振幅, $E_2$ は屈折波の電場の振幅,
$\mathrm{L}$ は媒質の境界面に水平な成分, $\mathrm{T}$ は境界面に垂直な成分,
$\mathrm{TM}$ は入射面に水平な成分, $\mathrm{TE}$ は入射面に垂直な成分,
$\alpha$ は入射角, $\beta$ は反射角, $\gamma$ は屈折角, $n_i=c\sqrt{\epsilon_i\mu_i}$ は媒質 $i$ の屈折率
である.
ただし, 光の電場は \begin{align} \boldsymbol{E}_1 &= \begin{pmatrix} -E_{1\mathrm{TM}}\sin\alpha \\ E_{1\mathrm{TM}}\cos\alpha \\ E_{1\mathrm{TE}}e^{i\delta} \end{pmatrix} e^{ik_1(x\cos\alpha+y\sin\alpha)-2\pi i\nu t}, \tag{4-1} \\ \boldsymbol{E}_1' &= \begin{pmatrix} -E_{1\mathrm{TM}}'\sin\beta \\ E_{1\mathrm{TM}}'\cos\beta \\ E_{1\mathrm{TE}}'e^{i\delta} \end{pmatrix} e^{-ik_1(x\cos\beta+y\sin\beta)-2\pi i\nu t}, \tag{4-2} \\ \boldsymbol{E}_2 &= \begin{pmatrix} -\frac{k_{2y}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}} \\ \frac{k_{2x}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}} \\ E_{2\mathrm{TE}}e^{i\delta} \end{pmatrix} e^{i(k_{2x}x+k_{2y}y)-2\pi i\nu t} \tag{4-3} \end{align} とした.
$(6)$ 式および $(7\text{-}1)$ , $(7\text{-}2)$ 式は $(3)$ 式の1行目から導かれたので, 続いて $(3)$ 式の2行目を考える.
Faradayの電磁誘導の法則より, 電場 $\boldsymbol{E}$ と磁束密度 $\boldsymbol{B}$ の間には \begin{align} \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} = -\mathrm{rot}\boldsymbol{E}, \end{align} の関係がある（もしくは光は電場から磁場への右ねじ方向に進む）ので, 入射光の磁束密度は \begin{align} \boldsymbol{B}_1 &= \frac{1}{v_1} \begin{pmatrix} E_{1\mathrm{TE}}e^{i\delta} \sin\alpha \\ -E_{1\mathrm{TE}} e^{i\delta} \cos\alpha \\ E_{1\mathrm{TM}} \end{pmatrix} e^{ik_1(x\cos\alpha+y\sin\alpha)-2\pi i\nu t} \tag{8-1} \\ \boldsymbol{B}_1' &= \frac{1}{v_1} \begin{pmatrix} -E_{1\mathrm{TE}}'e^{i\delta} \sin\beta \\ E_{1\mathrm{TE}}'e^{i\delta} \cos\beta \\ -E_{1\mathrm{TM}}' \end{pmatrix} e^{-ik_1(x\cos\beta+y\sin\beta)-2\pi i\nu t} \tag{8-2} \\ \boldsymbol{B}_2 &= \frac{1}{v_2} \begin{pmatrix} \frac{k_{2y}}{k_2} E_{2\mathrm{TE}} e^{i\delta} \\ -\frac{k_{2x}}{k_2} E_{2\mathrm{TE}} e^{i\delta} \\ \frac{k_{2y}^2+k_{2x}^2}{k_2} E_{2\mathrm{TM}} \end{pmatrix} e^{i(k_{2x}x+k_{2y}y)-2\pi i\nu t} \tag{8-3} \end{align} となる.
これら $(8)$ 式の第1成分が境界面 $x=0$ に垂直な $\boldsymbol{B}_{\mathrm{T}}$ で, 第2, 第3成分が境界面に平行な $\boldsymbol{B}_{\mathrm{L}}$ である.

$k_{2x}^2+k_{2y}^2=k_2^2$ に注意すると, $(2)$ 式 $\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$ と $(3)$ 式より \begin{align} \frac{1}{v_1}E_{1\mathrm{TE}} \sin\alpha - \frac{1}{v_1}E_{1\mathrm{TE}}' \sin\beta &= \frac{1}{v_2}\frac{k_{2y}}{k_2}E_{2\mathrm{TE}}, \\ \frac{1}{\mu_1v_1} E_{1\mathrm{TE}} \cos\alpha - \frac{1}{\mu_1v_1} E_{1\mathrm{TE}}' \cos\beta &= \frac{1}{\mu_2v_2}\frac{k_{2x}}{k_2} E_{2\mathrm{TE}}, \tag{9} \\ \frac{1}{\mu_1v_1} E_{1\mathrm{TM}} - \frac{1}{\mu_1v_1} E_{1\mathrm{TM}}' &= \frac{1}{\mu_2v_2} E_{2\mathrm{TM}}. \end{align} これを $(6)$ 式などと合わせて, 振幅の変化は \begin{align} \begin{matrix} \displaystyle E_{1\mathrm{TM}}'= \frac{\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha-\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} {\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha+\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} E_{1\mathrm{TM}}, \\ \displaystyle E_{2\mathrm{TM}} = \frac{2\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha} {\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha+\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} E_{1\mathrm{TM}}, \\ \displaystyle E_{1\mathrm{TE}}' = \frac{\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha-\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} {\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha+\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} E_{1\mathrm{TE}}, \\ \displaystyle E_{2\mathrm{TE}} = \frac{2\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha} {\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha+\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} E_{1\mathrm{TE}}\, \end{matrix} \tag{10} \end{align} であり, 反射率 $r$ および透過率 $t$ は各式の係数（の大きさ）となる（注）: \begin{align} r_{\mathrm{TM}} &= \left| \frac{\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha-\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} {\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha+\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} \right| , \\ t_{\mathrm{TM}} &= \left| \frac{2\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha} {\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\cos\alpha+\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\,k_{2x}/k_2} \right|, \\ r_{\mathrm{TE}} &= \left| \frac{\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha-\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} {\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha+\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} \right|, \\ t_{\mathrm{TE}} &= \left| \frac{2\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha} {\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\cos\alpha+\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\,k_{2x}/k_2} \right|. \, \end{align} ただし \begin{align} k_{2x}=\sqrt{k_2^2-k_{2y}^2}=\sqrt{k_2^2-k_1^2\sin^2\alpha} \end{align} である.
これらの式はFresnelの式（Wikipedia: フレネルの式）と呼ばれており, 式中に現れる数 $\sqrt{\mu_i/\epsilon_i}$ は特性インピーダンス（Wikipedia: 特性インピーダンス）と呼ばれる媒質固有の量である.

上の $(10)$ 式は, 振幅の変化だけでなくTM波およびTE波の位相変化も決めている.
すなわち $(10)$ 式で求まる振幅は, 実際の振幅（正実数値）に位相因子（ $e^{i\theta}$ ）を乗したものである.
例えばもし屈折角 $\cos\gamma=k_{2x}/k_2$ が定義できるならば, 求まる振幅 $E_1'$ および $E_2$ は実数である.
すなわちこの場合には, 位相変化は（求まった振幅が正なら） $0$ もしくは（求まった振幅が負なら） $\pi$ となる.
屈折角が定義できない場合には $0$ , $\pi$ 以外の位相変化も起きうる.

エバネッセント場

前回の最後で求めた, 広い意味でのSnellの法則は \begin{align} k_{2y}=k_1\sin\alpha \tag{7-2} \end{align} であった.
波数 $k_i$ については $k_i=2\pi\nu/v_i=2\pi\nu\sqrt{\epsilon_i\mu_i}$ , $k_{2x}^2+k_{2y}^2=k_2^2$ が成り立つので, \begin{align} k_{2y} &= 2\pi\nu\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\sin\alpha, \\ k_{2x} &= 2\pi\nu\sqrt{\epsilon_2\mu_2-\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha}, \\ k_2 &= 2\pi\nu\sqrt{\epsilon_2\mu_2} \end{align} となる.
すなわち, $\epsilon_2\mu_2 \lt \epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha$ のとき, たとえば全反射が起こるときには $k_{2x}$ は虚数となる.
このとき \begin{align} k_{2x} = 2\pi i\nu\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2} \end{align} と書けるので, 透過波は \begin{align} &\boldsymbol{E}_2 = \begin{pmatrix} -\frac{k_{2y}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}} \\ \frac{k_{2x}}{k_2}E_{2\mathrm{TM}} \\ E_{2\mathrm{TE}}e^{i\delta} \end{pmatrix} e^{i(k_{2x}x+k_{2y}y)-2\pi i\nu t} \tag{4-3} \\ &= \begin{pmatrix} -\sqrt{\frac{\epsilon_1\mu_1}{\epsilon_2\mu_2}}E_{2\mathrm{TM}}\sin\alpha \\ i\sqrt{\frac{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}{\epsilon_2\mu_2}}E_{2\mathrm{TM}} \\ E_{2\mathrm{TE}}e^{i\delta} \end{pmatrix} \\ & \exp\left(2\pi i\nu\left(ix\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2} +y\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\sin\alpha\right)-2\pi i\nu t\right) \\[3pt] &= \frac{1}{\sqrt{\epsilon_2}} \begin{pmatrix} -\sqrt{\epsilon_1} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} E_{2\mathrm{TM}}\sin\alpha \\ \sqrt{\epsilon_1} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}\sin^2\alpha-\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}} E_{2\mathrm{TM}} e^{i\pi/2} \\ \sqrt{\epsilon_2} E_{2\mathrm{TE}}e^{i\delta} \end{pmatrix} \\ & \exp\left(-2\pi\nu x\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}\right) \exp\left(2\pi i\nu\left(y\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\sin\alpha-t\right)\right) \tag{11-1} \end{align} となる.
最終行の1つ目の指数関数は $x$ の増加に伴って電場が減衰することを表し, 2つ目の指数関数は $y$ 正方向に電場が伝搬すること（そしてその速度は $1/\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\sin\alpha$ ）を表す.
この $(11\text{-}1)$ 式で表される電場は「エバネッセント場（Evanescent field, Wikipedia: エバネッセント場）」と呼ばれる.
ちなみに, $(11\text{-}1)$ 式に対応する磁束密度は \begin{align} &\boldsymbol{B}_2 = \sqrt{\mu_2} \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_1} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} E_{2\mathrm{TE}} e^{i\delta} \sin\alpha \\ -\sqrt{\epsilon_1} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}\sin^2\alpha-\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}} E_{2\mathrm{TE}} e^{i\delta} e^{i\pi/2} \\ \sqrt{\epsilon_2} E_{2\mathrm{TM}} \end{pmatrix} \\ & \exp\left(-2\pi\nu x\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}\right) \exp\left(2\pi i\nu\left(y\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\sin\alpha-t\right)\right) \tag{11-2} \end{align} であり, エネルギーの流れを表すPoyntingベクトル（Wikipedia: ポインティング・ベクトル）の時間平均 $\boldsymbol{S}$ は, \begin{align} \boldsymbol{S} &= \frac{\sqrt{\epsilon_1\mu_1}}{\mu_2} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{\left|E_\mathrm{TM}\right|^2 +\left|E_\mathrm{TE}\right|^2}{2} \sin\alpha \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\qquad \exp\left(-4\pi\nu x\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}\right) \tag{11-3} \end{align} である（証明を後ろに添付した）.
すなわちエバネッセント波には $x$ 方向へのエネルギーの流れは存在しない.
エバネッセント波は光のトンネル効果と言うこともできるであろう.

注についてと次回予告

ここで求めた反射率および透過率は, 振幅反射率および振幅透過率と呼ばれるものである.
我々が普段考える反射率はエネルギー反射率と呼ばれるもので, 振幅反射率の2乗に比例する（[4]および[5]も参考のこと）.
前回も今回も, 偏光状態の変化などと銘打っておきながら偏光についてほとんど触れられなかった.
次回こそ $(10)$ 式を用いて, 光が鏡などで反射されるときに偏光状態がどう変更されるかを議論したい.

$(11\text{-}3)$ 式の証明

まず, Poyntingベクトルはエネルギーの流れを表すので, 実電場ベクトルと実磁束密度ベクトルを用いて表される.
その準備として, 複素Poyntingベクトル（複素電場ベクトルと複素磁束密度ベクトルであらわしたPoyntingベクトル）の時間平均 $\boldsymbol{S}_\boldsymbol{\mathrm{m}}$ を考える.
[2][3]によると複素Poyntingベクトルの時間平均は \begin{align} \boldsymbol{S}_\boldsymbol{\mathrm{m}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{E}_2\times\frac{1}{\mu_2^\ast}\boldsymbol{B}_2^\ast \end{align} で与えられるので, \begin{align} &\boldsymbol{S}_\boldsymbol{\mathrm{m}} = \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2} \left( \sqrt{\frac{\epsilon_2^\ast}{\mu_2}} \left|E_\mathrm{TM}\right|^2 + \sqrt{\frac{\epsilon_2}{\mu_2^\ast}} \left|E_\mathrm{TE}\right|^2 \right) e^{i\pi/2} \\ \left( \sqrt{\epsilon_1\epsilon_2^\ast} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} \left|E_\mathrm{TM}\right|^2 + \sqrt{\epsilon_1^\ast\epsilon_2} \sqrt{\frac{\mu_1^\ast}{\mu_2^\ast}} \left|E_\mathrm{TE}\right|^2 \right) \sin\alpha \\ \sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2} \left( \sqrt{\frac{\epsilon_1\mu_1}{\mu_2\mu_2^\ast}} - \sqrt{\frac{\epsilon_1^\ast\mu_1^\ast}{\mu_2\mu_2^\ast}}\right) E_\mathrm{TM}E_\mathrm{TE}^\ast e^{i\pi/2} \sin\alpha \end{pmatrix} \\ &\qquad \frac{1}{2\sqrt{\epsilon_2\mu_2^\ast}} \exp\left(-4\pi\nu x\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}\right) \end{align} と計算される（ $\ast$ は複素共役）.
実際のエネルギーの流れ（の時間平均） $\boldsymbol{S}$ は実数なので, 上で求めた $\boldsymbol{S}_\boldsymbol{\mathrm{m}}$ の実部をとる必要がある.
$\epsilon$ , $\mu$ を実数とすれば, このエバネッセント波のエネルギーの流れの時間平均が \begin{align} \boldsymbol{S} &= \mathrm{Re}\,\boldsymbol{S}_\boldsymbol{\mathrm{m}} \\ &= \mathrm{Re} \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2} \sqrt{\frac{\epsilon_2}{\mu_2}} \left( \left|E_\mathrm{TM}\right|^2 +\left|E_\mathrm{TE}\right|^2 \right) e^{i\pi/2} \\ \sqrt{\epsilon_1\epsilon_2} \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} \left( \left|E_\mathrm{TM}\right|^2 +\left|E_\mathrm{TE}\right|^2 \right) \sin\alpha \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\quad \frac{1}{2\sqrt{\epsilon_2\mu_2}} \exp\left(-4\pi\nu x\sqrt{\epsilon_1\mu_1\sin^2\alpha-\epsilon_2\mu_2}\right), \\ \mathrm{Re}\,e^{i\pi/2} &= 0 \end{align} となり, $(11\text{-}3)$ 式が得られた.